Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)

În dinamica fluidelor, ecuațiile lui Euler constituie un sistem de ecuații ce descriu mișcarea fluidelor fără viscozitate și reprezintă o consecință a conservării masei, momentului și energiei în cadrul ecuațiilor Navier-Stokes.

Pentru obținerea acestor ecuații, se va considera un o element de fluid paralelipipedic de masă dm. Aceasta se află în echilibru dinamic sub acțiunea forței de inerție și a forțelor exterioare:

${\displaystyle dm\cdot {\vec {a}}=d{\vec {F}}_{m}+d{\vec {F}}_{s},}$

unde

${\displaystyle d{\vec {F}}_{m}={\vec {f}}_{m}\cdot dm}$

este forța masică, ${\displaystyle {\vec {f}}_{m}(X,Y,Z)}$ fiind forța masică unitară.

Componentele masice sunt:

${\displaystyle {\begin{cases}dF_{m_{x}}=X\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\\dF_{m_{y}}=Y\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\\dF_{m_{z}}=Z\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}}}$

Forțele de suprafață se pot calcula pe fiecare suprafață a elementului de fluid prin produsul dintre valoarea presiunii (considerată constantă pe fiecare față a particulei) și mărimea suprafeței pe care acționează. Componentele după direcțiile Ox, Oy, Oz ale rezultantei forțelor de presiune ${\displaystyle dF_{p}}$ sunt:

${\displaystyle {\begin{cases}dF_{p_{x}}=p\cdot dy\cdot dz-\left(p+{\frac {\partial p}{\partial x}}\cdot dx\cdot dy\cdot dz\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x}}\cdot dx\cdot dy\cdot dz\\dF_{p_{y}}=-{\frac {\partial p}{\partial y}}\cdot dy\cdot dy\cdot dz\\dF_{p_{z}}=-{\frac {\partial p}{\partial z}}\cdot dy\cdot dy\cdot dz\end{cases}}}$

Ecuația de mișcare după direcția Ox este:

${\displaystyle {\frac {du}{dt}}=\rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz=X\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz-{\frac {\partial p}{\partial x}}\cdot dx\cdot dy\cdot dz.}$

Analog se obțin ecuațiile după direcțiile Oy și Oz. Se împart aceste ecuații la masa elementului de fluid ${\displaystyle dm=\rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\neq 0}$ și ținând cont de derivatele substanțiale ale vitezelor, obținem ecuațiile lui Euler pentru dinamica fluidelor reale:

	Portal Matematică
	Portal Fizică