Grup altern

Tema lui Grup altern este una care a captat atenția oamenilor de toate vârstele și categoriile sociale. De la impactul său asupra societății până la influența sa asupra lumii divertismentului, Grup altern și-a lăsat amprenta într-un fel sau altul. În acest articol vom explora diferitele fațete ale Grup altern și vom analiza importanța acestuia în viața noastră de zi cu zi. Prin interviuri cu experți pe această temă și studii de caz relevante, vom căuta să facem lumină asupra acestui subiect atât de relevant astăzi. Fără îndoială, Grup altern este un aspect fundamental care merită o examinare atentă. Așa că pregătește-te să te arunci într-o scufundare profundă în Grup altern și tot ceea ce are de oferit.

În teoria grupurilor finite, un grup altern este un subgrup de indice doi al grupului simetric, format din permutările pare ale unei mulțimi finite.

Exemplu

Este cunoscut faptul că în jocul de Perspico (Taquin sau 15-puzzle) nu pot fi realizate toate configurațiile aparent posibile. Doar jumătate din configurații sunt accesibile prin mutări „legale” (adică fără a demonta jocul) în timp ce celelalte configurații sunt „imposibile”.

Încercați să inversați doar două pătrățele, de pildă 1 cu 2 sau 14 cu 15

Demonstrația riguroasă a acestui fapt presupune considerarea unui invariant: suma dintre paritatea distanței taxicab și paritatea permutării. Foarte pe scurt:

  • distanța taxicab este distanța pe care o parcurge spațiul liber la aplicarea unei formule. Spațiul liber pleacă din colțul din dreapta jos și ajunge, după aplicarea formulei, în același colț, parcurgând în acest timp de câte două ori fiecare segment (dus-întors);
  • paritatea permutării este paritatea numărului de transpoziții prin care se ajunge de la o configurație la alta.

O mutare a spațiului liber va schimba paritatea invariantului cu 2 (adică o va lăsa pe loc) în timp ce o configurație „imposibilă” este la distanță 1 de o configurație posibilă. Întrucât jumătate din permutările potențial posibile sunt pare iar jumătate impare, doar jumătate din configurații vor fi potențial accesibile (mai trebuie încă demonstrat că sunt într-adevăr accesibile, folosind o colecție de formule).

Câteva proprietăți

  • Este notat în mod uzual cu An unde n este gradul grupului,
  • Ordinul grupului altern An este n!/2,
  • Este subgrup normal în grupul simetric de același grad,
  • Este generat de către cicluri de lungime 3 (care sunt cele mai „mici” permutări pare)
  • Este grup simplu pentru n = 3 și n ≥ 5,
  • A5 este mai mic exemplu de grup simplu necomutativ,
  • Este (n-2) tranzitiv,
  • Faptul că grupul An nu este simplu și nici ciclic pentru n ≥ 5 înseamnă că nu este solubil, ceea ce va conduce la imposibilitatea rezolvării prin radicali a ecuațiilor de gradul 5 sau mai mare (teorema Abel–Ruffini).

Bibliografie

  • Dixon, John D.; Mortimer, Brian (), Permutation groups, Graduate Texts in Mathematics, 163, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94599-6, MR 1409812