Integrala Fresnel

Integralele lui Fresnel, ${\displaystyle S(x)}$ și ${\displaystyle C(x)}$, sunt funcții speciale, introduse în optică de inginerul Augustin-Jean Fresnel pentru a studia fenomenele de difracție.

${\displaystyle S(x):=\int _{0}^{x}\sin \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)dt}$

${\displaystyle C(x):=\int _{0}^{x}\cos \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)dt}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }S(x)=\lim _{x\to +\infty }C(x)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle C(iz)=iC(z)}$

${\displaystyle S(iz)=-iS(z)}$

${\displaystyle C(z)+iS(z)=zM\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},i{\frac {\pi }{2}}z^{2}\right),}$

unde ${\displaystyle M}$ este funcția hipergeometrică confluentă^⁠(en).

Relația cu funcția erorilor^⁠(en) este:

${\displaystyle C(z)+iS(z)={\frac {1+i}{2}}\mathrm {erf} \left}$

• en M. Abramowitz e I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (Dover, New York, 1972) p. 300
• en P. Drude, Theory of Optics, (Longmans, Green, and Co., New York, 1902) p. 188-203

• Integrala Fresnel S(x) pe functions.wolfram.com
• Integrala Fresnel C(x) pe functions.wolfram.com
• Integralele lui Fresnel MathWorld