Integrare prin părți

Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.

Dacă funcțiile ${\displaystyle f,g:\rightarrow \mathbb {R} \!}$ sunt derivabile și au derivate continue pe ${\displaystyle \!}$ atunci are loc egalitatea:

${\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx.\!}$

unde simbolul ${\displaystyle \int f(x)g'(x)dx\!}$ reprezintă mulțimea primitivelor funcției ${\displaystyle fg',\!}$ iar ${\displaystyle \int f'(x)g(x)dx\!}$ reprezintă mulțimea primitivelor funcției ${\displaystyle f'g.\!}$

Demonstrație.

Funcția ${\displaystyle h=fg\!}$ are derivată continuă pe ${\displaystyle \!}$ și

${\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!}$

Fie acum ${\displaystyle \varphi \in \int f(x)g'(x)dx\!}$ și diferența ${\displaystyle \psi =\varphi -fg.\!}$ Prin derivare se obține egalitatea:

${\displaystyle \psi '=\varphi '-f'g-fg'=-f'g\!}$

care arată că ${\displaystyle \psi \in -\int f'g.\!}$

Astfel am obținut că funcția ${\displaystyle \varphi =fg+\psi \!}$ și ${\displaystyle \psi \in -\int f'g.\!}$ Altfel spus, ${\displaystyle \varphi \in fg-\int f'g.\!}$ Analog se arată că oricare ar fi ${\displaystyle \psi \in -\int f'(x)g(x)dx,\!}$ funcția ${\displaystyle \varphi =fg+\psi \in \int f(x)g'(x)dx.\!}$

Consecință.

Dacă funcțiile ${\displaystyle f,g:\rightarrow \mathbb {R} \!}$ au derivate continue pe ${\displaystyle ,\!}$ atunci are loc egalitatea:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx\!}$

Să se calculeze ${\displaystyle \int x\cos xdx.}$

Mai întâi alegem funcțiile f și g:

• ${\displaystyle f(x)=x}$
• ${\displaystyle g(x)=\cos x.}$

Calculăm derivata lui f: ${\displaystyle f'(x)=x'=1.}$

Integrăm pe g: ${\displaystyle \int g(x)dx=\int \cos xdx=\sin x.}$

Deci ${\displaystyle \int x\cos xdx=x\sin x-\int 1\sin xdx=x\sin x+\cos x+{\mathcal {C}}.}$

Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată. De exemplu, fie:

${\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}xdx.\!}$

Integrând prin părți rezultă:

${\displaystyle I_{n}=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\!}$

De aici avem:

${\displaystyle nI_{n}=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+(n-1)I_{n-2}\!}$

Această formulă împreună cu egalitățile ${\displaystyle I_{0}=x\!}$ și ${\displaystyle I_{1}=\sin x\!}$ conduc la evaluarea primitivei ${\displaystyle I_{n},\!}$ pentru ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .\!}$

• Integrare prin schimbare de variabilă

Portal matematică

• en eMathHelp
• en MathIsFun.com