Mediană

Aspect mută în bara laterală ascunde

Medianele și centrul de greutate al triunghiului.

Mediana într-un triunghi este segmentul (ceviană) determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia. Există trei mediane corespunzătoare celor trei laturi ale triunghiului. Acestea se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.

Proprietăți

Concurența medianelor într-un triunghi

Toate cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente într-un punct G numit centru de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.

Împărțirea egală a ariilor

Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente). Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directă

În figura alăturată se observă că D F {\displaystyle DF} $DF$ este linia mijlocie a triunghiului : A B C {\displaystyle ABC} $ABC$ , opusă laturii B C {\displaystyle BC} $BC$ . Prin urmare, este paralelă cu B C {\displaystyle BC} $BC$ și are lungimea egală cu B C 2 {\displaystyle {\frac {BC}{2}}} ${\frac {BC}{2}}$ .

Deoarece BC || DF rezultă egalitatea unghiurilor:

O C B = O D F {\displaystyle OCB=ODF}

OCB=ODF

și

O B C = O F D {\displaystyle OBC=OFD}

OBC=OFD

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile Δ O B C {\displaystyle \Delta OBC} $\Delta OBC$ și Δ O F D {\displaystyle \Delta OFD} $\Delta OFD$ sunt asemenea. Rezultă că

O F O B {\displaystyle {\frac {OF}{OB}}}

{\frac {OF}{OB}}

= O D O C {\displaystyle {\frac {OD}{OC}}}

{\frac {OD}{OC}}

= F D B C {\displaystyle {\frac {FD}{BC}}}

{\frac {FD}{BC}}

= 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}

{\frac {1}{2}}

Demonstrație prin teorema lui Ceva

Deoarece:

A F F C {\displaystyle {\frac {AF}{FC}}}

{\frac {AF}{FC}}

= C E E B {\displaystyle {\frac {CE}{EB}}}

{\frac {CE}{EB}}

= B D D A {\displaystyle {\frac {BD}{DA}}}

{\frac {BD}{DA}}

= 1, rezultă că și : A F F C {\displaystyle {\frac {AF}{FC}}}

{\frac {AF}{FC}}

. C E E B {\displaystyle {\frac {CE}{EB}}}

{\frac {CE}{EB}}

. B D D A {\displaystyle {\frac {BD}{DA}}}

{\frac {BD}{DA}}

=1. Deci, conform teoremei reciproce pentru teorema lui Ceva medianele sunt concurente.

Lungimea medianei

Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei corespunzătoare laturii a este egală cu:

m a = 2 b 2 + 2 c 2 − a 2 4 {\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}}

m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}

Alte proprietăți

Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea m a 2 + m b 2 = 5 m c 2 . {\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.} $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$
Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă a 2 + b 2 = 5 c 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.} $a^{2}+b^{2}=5c^{2}.$

Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația:

3 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = m a 2 + m b 2 + m c 2 . {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}

{\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.

Se poate exprima aria unui triunghi, T, în funcție de lungimile medianelor ma, mb și mc și semisuma lungimilor medianelor (ma + mb + mc)/2 notată σ, când se obține:

T = 4 3 σ ( σ − m a ) ( σ − m b ) ( σ − m c ) . {\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}

T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.

Note

^ Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. pp. 375–377. ISBN 9781420035223.
^ Algebra.com
^ Bottomley, Henry. „Medians and Area Bisectors of a Triangle”. Accesat în 27 septembrie 2013.
^ Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), Mathematical Gazette, Note 93.15.
^ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.
^ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.