Mediana într-un triunghi este segmentul (ceviană) determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia. Există trei mediane corespunzătoare celor trei laturi ale triunghiului. Acestea se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.
Toate cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente într-un punct G numit centru de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.
Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente). Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.
Demonstrație directăÎn figura alăturată se observă că D F {\displaystyle DF} este linia mijlocie a triunghiului : A B C {\displaystyle ABC} , opusă laturii B C {\displaystyle BC} . Prin urmare, este paralelă cu B C {\displaystyle BC} și are lungimea egală cu B C 2 {\displaystyle {\frac {BC}{2}}} .
Deoarece BC || DF rezultă egalitatea unghiurilor:
O C B = O D F {\displaystyle OCB=ODF}și
O B C = O F D {\displaystyle OBC=OFD}fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile Δ O B C {\displaystyle \Delta OBC} și Δ O F D {\displaystyle \Delta OFD} sunt asemenea. Rezultă că
O F O B {\displaystyle {\frac {OF}{OB}}} = O D O C {\displaystyle {\frac {OD}{OC}}} = F D B C {\displaystyle {\frac {FD}{BC}}} = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} Demonstrație prin teorema lui CevaDeoarece:
A F F C {\displaystyle {\frac {AF}{FC}}} = C E E B {\displaystyle {\frac {CE}{EB}}} = B D D A {\displaystyle {\frac {BD}{DA}}} = 1, rezultă că și : A F F C {\displaystyle {\frac {AF}{FC}}} . C E E B {\displaystyle {\frac {CE}{EB}}} . B D D A {\displaystyle {\frac {BD}{DA}}} =1. Deci, conform teoremei reciproce pentru teorema lui Ceva medianele sunt concurente.Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei corespunzătoare laturii a este egală cu:
m a = 2 b 2 + 2 c 2 − a 2 4 {\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}} .