În geometrie o pseudosferă este o suprafață cu curbură gaussiană(d) negativă constantă.
O pseudosferă cu raza R este o suprafață în R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} Eugenio Beltrami în lucrarea sa din 1868 despre modelele de geometrie hiperbolică.
având curbura − 1 / R 2 {\displaystyle -1/R^{2}} în fiecare punct. Numele său provine din analogia cu sfera de rază R, care este o suprafață cu curbura 1 / R 2 {\displaystyle 1/R^{2}} . Termenul a fost introdus deAceeași suprafață poate fi descrisă ca rezultat al rotației unei tractrice(d) în jurul asimptotei sale. Din acest motiv pseudosfera se mai numește și tractricoid. De exemplu, jumătate de pseudosferă (cu raza 1) este suprafața de revoluție a tractricei parametrizată de
t ↦ ( t − tanh t , sech t ) , 0 ≤ t < ∞ . {\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh {t},\operatorname {sech} \,{t}\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}Este un spațiu singular (ecuatorul este o singularitate), dar, spre deosebire de singularități, are curbura gaussiană negativă constantă și, prin urmare, este local izometric cu planul hiperbolic.
Denumirea de „pseudosferă” vine de la faptul că este o suprafață bidimensională cu curbura gaussiană negativă constantă, la fel cum o sferă este o suprafață cu curbură gaussiană pozitivă constantă. Așa cum sfera are în fiecare punct geometria curbă a unui dom, pseudosfera are în fiecare punct geometria curbă a unei șei.
Încă din 1693 Christiaan Huygens a descoperit că aria suprafeței pseudosferei și volumul delimitat de ea sunt finite, chiar dacă forma se extinde la infinit de-a lungul axei de rotație. Pentru o rază dată R a ecuatorului, aria este 4πR2 la fel ca pentru sferă, în timp ce volumul este 2/3πR3, adică jumătate din aceea a unei sfere cu aceeași rază.
Jumătatea pseudosferei de curbură −1 este acoperită de interiorul unui oriciclu. În modelul semiplanului Poincaré(d) o alegere convenabilă este porțiunea semiplanului cu y ≥ 1. Atunci funcția de acoperire este periodică în direcția x cu perioada 2π și aplică oriciclele y = c pe meridianele pseudosferei și geodezicele verticale x = c pe tractricele care generează pseudosfera. Această aplicare este o izometrie locală, prin urmare prezintă porțiunea y ≥ 1 a semiplanului superior ca spațiul de acoperire(d) universal al pseudosferei. Funcția exactă este
( x , y ) ↦ ( v ( arcosh y ) cos x , v ( arcosh y ) sin x , u ( arcosh y ) ) {\displaystyle (x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )}}unde
t ↦ ( u ( t ) = t − tanh t , v ( t ) = sech t ) {\displaystyle t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}}este parametrizarea tractricei de mai sus.
În unele surse care utilizează modelul hiperboloidului(d) pentru planul hiperbolic, hiperboloidul este denumit „pseudosferă”. Această utilizare a cuvântului se datorează faptului că hiperboloidul poate fi gândit ca o sferă de rază imaginară, încorporat într-un spațiu Minkowski.