În algebra liniară, conceptul de rang are semnificațiile:
Fie A = ( a i j ) , i = 1 , ⋯ m , j = 1 , ⋯ n {\displaystyle A=(a_{ij}),\;i=1,\cdots m,\;j=1,\cdots n} numărul natural r cu proprietățile:
o matrice cu n linii și m coloane. Se numește rangul matricei AObservații:
Se numește transformare elementară a unei matrice oricare din următoarele transformări:
Transformările elementare nu schimbă rangul unei matrice.
Matricea A = ( a i j ) ∈ M m , n ( C ) {\displaystyle A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{m,n}(\mathbb {C} )}
A = ( 1 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ 1 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&0&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0&0&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1&0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0&0&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &0&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}} are forma economică diagonală dacă are toate elementele nule, cu excepția elementelor a i i , 1 ≤ i ≤ r = min ( m , n ) {\displaystyle a_{ii},\;1\leq i\leq r=\min(m,n)} care au valoarea 1, adică:Observații:
Teoremă. Orice matrice nenulă poate fi adusă la forma canonică diagonală prin transformări elementare.
Demonstrație. Cel puțin un element al matricei A {\displaystyle A}
A ∼ ( 1 a 12 ′ a 13 ′ ⋯ a 1 n ′ a 21 ′ a 22 ′ a 23 ′ ⋯ a 2 n ′ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 ′ a m 2 ′ a m 3 ′ ⋯ a m n ′ ) {\displaystyle A\sim {\begin{pmatrix}1&a'_{12}&a'_{13}&\cdots &a'_{1n}\\a'_{21}&a'_{22}&a'_{23}&\cdots &a'_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a'_{m1}&a'_{m2}&a'_{m3}&\cdots &a'_{mn}\end{pmatrix}}} este nenul. Prin schimbări de linii și coloane, elementul este adus pe linia 1 și coloana 1, apoi se împarte linia 1 cu elementul respectiv și se obține o matrice echivalentă:Coloana 1 se înmulțește cu ( − a 12 ′ ) {\displaystyle (-a'_{12})}
A ∼ ( 1 0 0 ⋯ 0 0 a 22 ″ a 23 ″ ⋯ a 2 n ″ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 ″ a m 2 ″ a m 3 ″ ⋯ a m n ″ ) {\displaystyle A\sim {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&a''_{22}&a''_{23}&\cdots &a''_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a''_{m1}&a''_{m2}&a''_{m3}&\cdots &a''_{mn}\end{pmatrix}}} și se adună cu coloana 2; coloana 1 se înmulțește cu ( − a 13 ′ ) {\displaystyle (-a'_{13})} și se adună la coloana 3 etc. Astfel se obține o matrice echivalentă cu A {\displaystyle A} care are toate elementele de pe linia 1 nule cu excepția primului. Procedând analog cu liniile, se formează zerouri și pe coloana 1 (cu excepția primului element) și se obține:Dacă a i j ″ = 0 , ∀ i = 2 , m ¯ , ∀ j = 2 , m ¯ , {\displaystyle a''_{ij}=0,\;\forall i={\overline {2,m}},\;\forall j={\overline {2,m}},}
atunci rangul matricei este 1. În caz contrar, există a i j ″ = 0 , i = 2 , m ¯ , j = 2 , n ¯ . {\displaystyle a''_{ij}=0,\;i={\overline {2,m}},\;j={\overline {2,n}}.}Procedând ca mai înainte, se fac (prin transformări echivalente) ca și elementul de pe linia 2 și coloana 2 să fie egal cu 1, apoi se anulează celelalte elemente de pe linia 2 și coloana 2 etc. După un număr finit de pași, se ajunge la forma canonică diagonală.
Pentru calculul rangului matricei:
A = ( − 3 2 − 5 7 9 3 0 3 − 7 − 2 − 1 3 1 1 − 2 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}-3&2&-5&7\\9&3&0&3\\-7&-2&-1&3\\1&1&-2&1\end{pmatrix}}}se împarte linia 2 cu 3:
A ∼ ( − 3 2 − 5 7 3 1 0 1 − 7 − 2 − 1 3 1 1 − 2 1 ) . {\displaystyle A\sim {\begin{pmatrix}-3&2&-5&7\\3&1&0&1\\-7&-2&-1&3\\1&1&-2&1\end{pmatrix}}.}Apoi se schimbă liniile 1 și 4 între ele:
A ∼ ( 1 1 − 2 1 3 1 0 1 − 7 − 2 − 1 3 − 3 2 − 5 7 ) . {\displaystyle A\sim {\begin{pmatrix}1&1&-2&1\\3&1&0&1\\-7&-2&-1&3\\-3&2&-5&7\end{pmatrix}}.}Apoi se formează zerouri pe linia 1:
A ∼ ( 1 0 0 0 3 − 2 6 − 2 − 7 5 − 15 10 − 3 5 − 15 10 ) . {\displaystyle A\sim {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\3&-2&6&-2\\-7&5&-15&10\\-3&5&-15&10\end{pmatrix}}.}Se formează zerouri pe coloana 1:
A ∼ ( 1 0 0 0 0 − 2 6 − 2 0 − 5 − 15 10 0 5 − 15 10 ) . {\displaystyle A\sim {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-2&6&-2\\0&-5&-15&10\\0&5&-15&10\end{pmatrix}}.}Se împarte linia 2 cu (-2), se adună linia 3 la linia 4, apoi se împarte linia 3 cu 5:
A ∼ ( 1 0 0 0 0 1 − 3 1 0 1 − 3 2 0 0 0 0 ) . {\displaystyle A\sim {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&-3&1\\0&1&-3&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.}Se formează zerouri pe coloana 2, se schimbă coloanele 2 și 3 între ele și în final se obține:
A ∼ ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) . {\displaystyle A\sim {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.}deci r a n g A = 3. {\displaystyle {\mathit {rang}}A=3.}
Observație. Dacă la un moment dat toate elementele de pe o linie cu excepția uneia sunt nule, atunci se pot înlocui cu zero toate celelalte elemente de pe coloana în care se află acel element nenul.