Geometrie analitica: Punct si dreapta in planul cartezian
Geometria analitică este un subiect important în matematică și este foarte utilă în rezolvarea problemelor de geometrie. Una dintre cele mai simple probleme de geometrie analitică este reprezentarea punctelor și dreptelor în planul cartezian.
Coordonatele unui punct în planul cartezian
În planul cartezian, orice punct poate fi reprezentat prin două numere reale, numite coordonate. Aceste coordonate sunt:
- coordonata x - reprezintă poziția punctului pe axa orizontală și se numește abscisa punctului
- coordonata y - reprezintă poziția punctului pe axa verticală și se numește ordonata punctului
De exemplu, punctul A(3,4) are coordonatele x=3 și y=4.
Cum se reprezintă o dreaptă în planul cartezian
O dreaptă poate fi reprezentată în planul cartezian prin ecuația sa. Să luăm, de exemplu, dreapta d care trece prin punctele A(3,4) și B(6,7).
Pentru a găsi ecuația dreptei d, putem folosi formula următoare:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
unde m este coeficientul de înclinație al dreptei, iar (x1,y1) și (x2,y2) sunt coordonatele punctelor A și B. Astfel:
m = (7 - 4) / (6 - 3) = 1
Astfel, ecuația dreptei d poate fi scrisă sub forma:
y - y1 = m(x - x1), unde m = 1, x1 = 3 și y1 = 4
Ecuația dreptei d este:
y - 4 = x - 3
Variind x, obținem coordonatele punctelor de pe dreaptă:
- Pentru x=0, y=1
- Pentru x=1, y=2
- Pentru x=2, y=3
- Pentru x=3, y=4
- Pentru x=4, y=5
- Pentru x=5, y=6
- Pentru x=6, y=7
- Pentru x=7, y=8
Cum se determină punctele de intersecție între două drepte în planul cartezian
Punctele de intersecție între două drepte pot fi determinate prin rezolvarea sistemului de ecuații format din ecuațiile celor două drepte.
Să luăm, de exemplu, dreptele d1 și d2 cu ecuațiile:
d1: y = 2x + 1
d2: y = -3x + 5
Pentru a găsi punctul de intersecție P între cele două drepte, trebuie să găsim valorile lui x și y care satisfac ambele ecuații. Putem face acest lucru prin egalarea membrilor din cele două ecuații și rezolvarea ecuației rezultate pentru x sau y. În cazul de față, obținem următoarele:
2x + 1 = -3x + 5
rezolvând această ecuație, obținem:
x = 1
Înlocuim valoarea x=1 în una dintre ecuațiile inițiale pentru a obține valoarea y:
y = -3(1) + 5 = 2
Astfel, punctul de intersecție P are coordonatele (1,2).
Când două drepte nu se intersectează
Dacă cele două drepte sunt paralele, nu vor avea niciun punct de intersecție. O altă situație în care două drepte nu se intersectează este atunci când acestea sunt confundate, adică coincid.
Cum se calculează distanța între un punct și o dreaptă în planul cartezian
Distanța dintre un punct și o dreaptă poate fi calculată folosind formula distanței de la punct la dreaptă:
d(P,d) = |ax1 + by1 + c| / √(a^2 + b^2)
unde P este punctul și d este dreapta, iar ax + by + c = 0 este ecuația dreptei în forma generală, cu a și b coeficienți necombinatorii.
Să luăm, de exemplu, punctul P(2,3) și dreapta d: 2x - 3y + 6 = 0.
Astfel, avem:
a = 2
b = -3
c = 6
x1 = 2
y1 = 3
Înlocuind aceste valori în formula pentru distanța de la punct la dreaptă, obținem:
d(P,d) = |2(2) - 3(3) + 6| / √(2^2 + (-3)^2) = 1.8
Astfel, distanța dintre punctul P(2,3) și dreapta d: 2x - 3y + 6 = 0 este de 1.8.
Cum se determină unghiul dintre două drepte în planul cartezian
Unghiul dintre două drepte poate fi determinat folosind formula:
cos α = (a1a2 + b1b2) / √(a1^2 + b1^2) √(a2^2 + b2^2)
unde (a1,b1) și (a2,b2) sunt vectorii direcție a celor două drepte.
Să luăm, de exemplu, dreptele d1 și d2 cu ecuațiile:
d1: y = 2x + 1
d2: y = -3x + 5
Pentru a calcula unghiul α între cele două drepte, vom exprima vectorii direcție și îi vom substitui în formula de mai sus:
d1: (1,2)
d2: (-3,1)
Înlocuind aceste valori în formula pentru cos α, obținem:
cos α = (1)(-3) + (2)(1) / √(1^2 + 2^2) √((-3)^2 + 1^2) = -0.26
Unghiul α poate fi găsit folosind funcția arccosinus:
α = arccos(-0.26) = 1.87 radiani
Astfel, unghiul dintre dreptele d1 și d2 este de aproximativ 107 grade.
Concluzii
Geometria analitică este un subiect important în matematică și poate fi folosită pentru a rezolva problemele de geometrie în planul cartezian. Am învățat cum se reprezintă punctele și dreptele în planul cartezian, cum se calculează punctele de intersecție între două drepte, cum se calculează distanța dintre un punct și o dreaptă și cum se determină unghiul dintre două drepte.