Numere complexe: Operatii si aplicatii

Introducere

Numerele complexe sunt un concept matematic extrem de important, iar capacitatea de a realiza diverse operații cu acestea poate fi esențială în rezolvarea multor probleme de matematică și fizică. În acest articol, vom examina modul în care se fac operațiile cu numere complexe, precum și aplicațiile practice ale acestora.

Adunarea și scăderea numerelor complexe

Pentru a aduna sau scădea două numere complexe, trebuie să adunăm sau să scădem părțile reale ale numerelor (partea care conține numerele reale) și părțile imaginare ale numerelor (partea care conține numărul imaginar, adică o constantă multiplă a unității imaginiare).

Pentru a aduna două numere complexe, adunăm părțile reale și părțile imaginare separate:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Pentru a scădea două numere complexe, scădem părțile reale și părțile imaginare separate:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

De exemplu, pentru a aduna numerele complexe (3 + 2i) și (1 + 7i), adunăm partea reală și partea imaginară în mod separat:

Parte reală: 3 + 1 = 4
Parte imaginară: 2 + 7 = 9

Prin urmare, suma numerelor complexe (3 + 2i) și (1 + 7i) este 4 + 9i.

Inmultirea numerelor complexe

Pentru a înmulți două numere complexe, trebuie să utilizăm proprietatea distributivă a multiplicării. Mai exact, vom înmulți fiecare termen din primul număr cu fiecare termen din al doilea număr și vom aduna rezultatele corespunzătoare din fiecare produs.

Dacă avem două numere complexe a și b, iar a este scris ca (x + yi) și b este scris ca (u + vi), atunci înmulțirea dintre cele două numere este următoarea:

a * b = (x + yi) * (u + vi) = xu + xvi + yui + yvi^2
Pentru că i^2 este egal cu -1, vom avea:
a * b = xu + xvi + yui - yv
Pentru că v = yi și u = x, putem scrie aceasta ca:
a * b = (xu - yv) + (xv + yu)i

De exemplu, pentru a înmulți numerele complexe (3 + 2i) și (1 + 7i), vom utiliza formula de mai sus:

(3 + 2i) * (1 + 7i) = (3 * 1 - 2 * 7) + (3 * 7 + 2 * 1)i
(3 + 2i) * (1 + 7i) = (-11 + 23i)

Prin urmare, produsul numerelor complexe (3 + 2i) și (1 + 7i) este -11 + 23i.

Imaginarul unitar și numerele complexe polare

Imaginarul unitar este definit ca fiind o constantă multiplă a rădăcinii pătrate a -1. În acest sens, i este un imaginari unitar. Prin urmare, putem scrie un număr complex în timp ce utilizăm imaginarii unitari:

Un număr complex scris ca a + bi poate fi rescris utilizând imaginarii unitari drept:

a + bi = a + b(i * i)
Pentru că i * i este egal cu -1, putem scrie aceasta ca:
a + bi = a + b(-1)
a + bi = a - bi

Acest lucru înseamnă că putem să scriem un număr complex în timp ce folosim într-un mod comun doar o parte imaginată a acestuia. În acest sens, vom nota un număr complex cu magnitudinea (lungimea) r și un unghi φ de la axa pozitivă a numerelor reale (figura polară).

Astfel, putem scrie numărul complex z ca r(cos φ + i sin φ), unde r este lungimea lui z și φ este unghiul de la axa pozitivă a numerelor reale până la z. Acest lucru ne permite să facem o mulțime de calcule cu numere complexe utilizând în mod eficient figura polară.

Împărțirea numerelor complexe

Pentru a împărți două numere complexe, trebuie să menținem formula pentru conjugatul unui număr complex. Dacă avem două numere complexe a și b, vom utiliza următoarea formulă pentru a împărți cele două numere:

a / b = (a * conj(b)) / (b * conj(b))
Unde conj(b) este conjugatul numărului complex b (scris cu o semnătură bară deasupra).

Conjugatul unui număr complex scris ca a + bi este a - bi. Deci, dacă avem un număr complex scris ca x + yi, atunci conjugatul acestuia este x - yi.

De exemplu, să vedem cum putem utiliza această formulă pentru a împărți numerele complexe (3 + 2i) la (1 + i). Vom începe selectând conj(b):

conj(1 + i) = 1 - i

Apoi, vom înmulți (3 + 2i) cu acest conjunct:

(3 + 2i) * (1 - i) = 1 + i + 6i - 2 = -1 + 7i

Apoi, vom înmulți (1 + i) cu acest conjunct:

(1 + i) * (1 - i) = 1 - i + i - i^2
Pentru că i^2 este egal cu -1, vom avea:
(1 + i) * (1 - i) = 2

Împărțind cele două produse vom obține:

(3 + 2i) / (1 + i) = (-1 + 7i) / 2

Prin urmare, rezultatul împărțirii numerelor complexe (3 + 2i) la (1 + i) este -1/2 + 7/2i.

Aplicațiile numerelor complexe

Am văzut deja modul în care se pot face operațiile cu numere complexe, dar cum pot fi acestea utilizate în practică?

Numerele complexe pot fi utilizate pentru a reprezenta valori care implică o parte reală și o parte imaginară. De exemplu, un circuit electric poate să își găsească reflecția completă utilizând numerele complexe.

Utilizarea figurii polare permite calcularea unor performanțe îmbunătățite ale unor ținte, cum ar fi rachetele și avioanele. De asemenea, numerele complexe pot fi utilizate pentru a descrie și a modela procesele fizice ale sistemelor atomice și moleculare.

Alte aplicații ale numere complexe includ utilizarea lor în calculul tranzițiilor de fază și a proprietăților conductivității electrice a unor metale și semiconductori.

În concluzie, numerele complexe pot fi extrem de utile într-o varietate de domenii, cum ar fi matematica, fizica și ingineria. Operațiile pe care le putem face cu numerele complexe sunt relativ simple și pot fi folosite pentru a realiza calcule extrem de complexe în multe domenii diferite.