Teorema lui Pitagora: Definitie si demonstratie
Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din matematica si a fost numita astfel dupa Pitagora, un filosof si matematician grec din secolul al V-lea inainte de Hristos. Potrivit acestei teoreme, in orice triunghi dreptunghic, patratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor celor doua catete.
Definitie
In mod formal, teorema lui Pitagora se poate formula astfel: intr-un triunghi dreptunghic, patratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor celor doua catete. Cu alte cuvinte, daca A, B si C reprezinta lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic, iar C este lungimea ipotenuzei, atunci A^2 + B^2 = C^2.
Demonstratie
Demonstratia teoremei lui Pitagora este una din cele mai cunoscute demonstratii din matematica si a fost dezvoltata de-a lungul secolelor. Existau o multime de demonstratii diferite pana in secolul al XIX-lea, cand o demonstratie simpla a fost prezentata de catre James Garfield, care mai tarziu a devenit presedintele Statelor Unite ale Americii.
Una dintre cele mai simple demonstratii ale teoremei lui Pitagora se bazeaza pe faptul ca un triunghi dreptunghic poate fi impartit in doua triunghiuri asemanatoare. Astfel, daca avem un triunghi dreptunghic ABC, cu ipotenuza C, cateta A si cateta B, putem trasa o perpendiculara din varful lui C catre latura AB, astfel incat sa obtinem doua triunghiuri dreptunghice asemanatoare ABC si ADC. Lungimea laturii AC a triunghiului ABD este egala cu lungimea catetei B a triunghiului ABC, iar lungimea laturii BD este egala cu lungimea catetei A a triunghiului ABC.
Avand in vedere ca triunghiurile ABC si ADC sunt asemanatoare, vom avea urmatoarea proportie: AC/AB = AD/AC. Inmultind ambele parti cu AC^2, vom obtine AC^3/AB = AD * AC^2. De asemenea, avand in vedere ca triunghiurile ABD si ABC sunt dreptunghice, putem folosi teorema lui Pitagora pentru a calcula lungimile BD si AC. Astfel, avem urmatoarele: BD^2 = AD^2 + AB^2 si AC^2 = AD^2 + CD^2.
Inlocuind valorile obtinute pentru BD^2 si AC^2 in prima ecuatie, vom obtine AC^3/AB = AD * AC^2, sau, dupa simplificare, AB = AD * AC. Inlocuim valorile obtinute pentru AB si AC in cele doua ecuatii si obtinem urmatoarele relatii: BD^2 = AD^2 + AB^2 devine BD^2 = AD^2 + AD^2 * AC^2, iar AC^2 = AD^2 + CD^2 devine AC^2 = AD^2 + AD^2/AC^2.
Inmultind cele doua ecuatii, vom obtine urmatoarea relatia: BD^2 * AC^2 = AD^4 + AD^2. Inlocuind valorile obtinute pentru BD si AC, vom obtine: (C^2 - AD)^2 * AD^2 = AD^4 + AD^2 * C^2. Simplificand, vom obtine urmatoarea ecuatie de gradul al patrulea: AD^4 - C^2 * AD^2 + (C^2)^2/4 = 0.
Aceasta ecuatie poate fi rezolvata prin metoda completa a discriminantului. Rezultatul va fi urmatorul: AD^2 = (C^2 + radical din C^4)/2. In aceasta ecuatie, C reprezinta lungimea ipotenuzei triunghiului ABC, iar AD reprezinta distanta dintre varful triunghiului ABC si punctul unde se intersecteaza perpendiculara trasa din varful C cu latura AB.
Concluzie
Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai importante teoreme din matematica si are o multime de aplicatii practice. De exemplu, aceasta poate fi folosita pentru a calcula lungimea laturilor triunghiurilor dreptunghice si poate fi utilizata in constructia unor forme geometrice precum cuburi si paralelipipede. In plus, aceasta teorema poate fi studiata in scoli si universitati din intreaga lume, reprezentand un punct de plecare important pentru intelegerea si aplicarea altor concepte matematice.