![]() | Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține. |
În geometrie, paralelismul se referă la o proprietate relațională, în cadrul unui spațiu euclidian, a două sau mai multe subspații (de exemplu drepte sau plane). Presupusa existență și proprietățile dreptelor paralele formează baza axiomei paralelelor a lui Euclid. Două drepte într-un plan care nu se pot intersecta se numesc drepte paralele. Analog, într-un spațiu tridimensional, o dreaptă și un plan sau două plane pot fi paralele; în general, într-un spațiu euclidian n-dimensional, un spațiu m-dimensional și un spațiu n−1-dimensional (cu m ≤ n − 1 {\displaystyle m\leq n-1} ) sunt paralele dacă nu au vectori în comun.
În spații neeuclidiene, dreptele paralele sunt cele care se intersectează doar la limită la infinit.
Simbolul pentru paralelism este ∥ {\displaystyle \parallel }
. De exemplu A B ∥ C D {\displaystyle AB\parallel CD} arată că dreapta AB este paralelă cu dreapta CD.În setul de caractere Unicode, semnele „paralel” și „neparalel” sunt alocate codurilor U+2225 (∥) și respectiv U+2226 (∦).
Date fiind dreptele l și m, următoarele descrieri pentru m o definesc echivalent ca paralelă la dreapta l într-un spațiu euclidian:
Cu alte cuvinte, dreptele paralele trebuie să se afle în același plan, iar planele paralele trebuie să se afle în același spațiu tridimensional. O dreaptă poate fi paralelă cu un plan în același spațiu tridimensional.
Cele trei definiții de mai sus duc la trei metode diferite de construire a dreptelor paralele.
O altă definiție a dreptelor paralele utilizată frecvent este aceea că două drepte sunt paralele dacă nu se intersectează, dar aceasta este valabilă doar într-un spațiu bidimensional.
Întrucât o dreaptă paralelă este o dreaptă formată din puncte aflate la aceeași distanță față de cealaltă, atunci există o unică distanță între cele două drepte paralele. Date fiind ecuațiile a două drepte paralele neverticale:
y = m x + b 1 {\displaystyle y=mx+b_{1}\,} y = m x + b 2 {\displaystyle y=mx+b_{2}\,}distanța între cele două drepte se poate găsi rezolvând sistemul de ecuații liniare:
y = m x + b 1 {\displaystyle y=mx+b_{1}\,} y = − x / m {\displaystyle y=-x/m\,}și sistemul:
y = m x + b 2 {\displaystyle y=mx+b_{2}\,} y = − x m {\displaystyle y={\frac {-x}{m}}\,}pentru a obține coordonatele picioarelor unei perpendiculare pe cele două drepte. Soluția sistemelor este:
x 1 = − b 1 m m 2 + 1 {\displaystyle x_{1}\ ={\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}}\,} y 1 = b 1 m 2 + 1 {\displaystyle y_{1}\ ={\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\,} x 2 = − b 2 m m 2 + 1 {\displaystyle x_{2}\ ={\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}}\,} y 2 = b 2 m 2 + 1 {\displaystyle y_{2}\ ={\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\,}Introducând în formula distanței euclidiene rezultă:
d = ( b 1 m − b 2 m m 2 + 1 ) 2 + ( b 2 − b 1 m 2 + 1 ) 2 {\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,}...
d = ( b 2 − b 1 ) 2 m 2 + 1 {\displaystyle d={\sqrt {\frac {(b_{2}-b_{1})^{2}}{m^{2}+1}}}\,} d = | b 2 − b 1 | m 2 + 1 {\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,}adică:
d = | b 2 − b 1 | m 2 + 1 m 2 + 1 . {\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{m^{2}+1}}{\sqrt {m^{2}+1}}.}De asemenea, dacă cele două drepte sunt
a x + b y + c 1 = 0 {\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,} a x + b y + c 2 = 0 {\displaystyle ax+by+c_{2}=0\,}atunci distanța între ele poate fi formulată astfel:
d = | c 2 − c 1 | a 2 + b 2 . {\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}