Relație de echivalență

Aspect mută în bara laterală ascunde

O relație de echivalență este o relație binară ≡ {\displaystyle \equiv } pe o mulțime A, relație ce îndeplinește următoarele proprietăți:

1. Reflexivitate: ∀ x ∈ A ,   x ≡ x . {\displaystyle \forall x\in A\,,\ x\equiv x.} .
2. Simetrie: x ≡ y ⟹ y ≡ x . {\displaystyle x\equiv y\implies y\equiv x.}
3. Tranzitivitate: ( x ≡ y {\displaystyle x\equiv y} și y ≡ z ) ⟹ x ≡ z . {\displaystyle y\equiv z)\implies x\equiv z.}

O relație de echivalență partiționează mulțimea A pe care este definită în clase de echivalență: două elemente x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} sunt în aceeași clasă de echivalență dacă și numai dacă x ≡ y {\displaystyle x\equiv y} . Clasele de echivalență constituie o familie de submulțimi nevide disjuncte două câte două a căror reuniune este mulțimea A. Familia claselor de echivalență se numește mulțimea cât a mulțimii inițiale în raport cu relația de echivalență considerată, și se notează A / ≡ {\displaystyle A/\!\equiv } .

Exemple

• Congruența modulo n induce relația de echivalență pe mulțimea numerelor întregi Z {\displaystyle \mathbb {Z} } următoare:

x ≡ y ⟺ x = y mod n , {\displaystyle x\equiv y\iff x=y\mod n,} adică dacă x − y {\displaystyle x-y} are rest 0 la împărțirea cu n. Mulțimea cât se notează de obicei cu Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /{n\mathbb {Z} }} Z / n Z = { , , … , } , {\displaystyle \mathbb {Z} /{n\mathbb {Z} }={\big \{},,\ldots ,{\big \}},} unde clasa de echivalență este mulțimea = { … , k − 2 n , k − n , k , k + n , k + 2 n , … } . {\displaystyle =\{\ldots ,k-2n,\,k-n,\,k,\,k+n,\,k+2n,\ldots \}.}

• Dacă G este un graf, relația de adiacență ∼ {\displaystyle \sim } definită prin v ∼ u ⟺ {\displaystyle v\sim u\iff } „există o muchie între v {\displaystyle v} și u {\displaystyle u} ” este o relație de echivalență.
• Relația ρ {\displaystyle \rho } definită pe mulțimea numerelor complexe C {\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } } prin z 1 ρ z 2 ⟺ | z 1 | = | z 2 | {\displaystyle z_{1}\;\rho \;z_{2}\iff |z_{1}|=|z_{2}|} este o relație de echivalență. În planul complex, clasele de echivalență ale acestei relație sunt cercuri cu centrul în origine: clasa de echivalență lui z este cercul C ( 0 , | z | ) = { w ∈ C : w = | z | e i π θ , θ ∈ R } {\displaystyle C(0,|z|)=\{w\in \mathbb {C} :w=|z|e^{i\pi \theta },\theta \in \mathbb {R} \}} .
• Relația de congruența geometrică este o relație de echivalență pe mulțimea tuturor figurilor geometrice.

Vezi și

• Produs cartezian