Produs cartezian
Aspect mută în bara laterală ascunde | Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. |
Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.
Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.
Noțiune prealabilă: perechi ordonate
Articol principal: pereche ordonată.Fie A {\displaystyle A} și B {\displaystyle B} două mulțimi nevide. Dacă a ∈ A {\displaystyle a\in A} iar b ∈ B , {\displaystyle b\in B,} atunci mulțimea { { a } , { a , b } } {\displaystyle \{\{a\},\ \{a,b\}\}} se numește pereche ordonată și se notează cu ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).}
și
B
{\displaystyle B}
două mulțimi nevide. Dacă
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
iar
b
∈
B
,
{\displaystyle b\in B,}
atunci mulțimea
{
{
a
}
,
{
a
,
b
}
}
{\displaystyle \{\{a\},\ \{a,b\}\}}
se numește 
Perechile ordonate au proprietatea caractecteristică următoare: dacă a , s ∈ A {\displaystyle a,s\in A} iar b , t ∈ B , {\displaystyle b,t\in B,} atunci ( a , b ) = ( s , t ) {\displaystyle (a,b)=(s,t)} dacă și numai dacă a = s {\displaystyle a=s} și b = t . {\displaystyle b=t.}
iar
b
,
t
∈
B
,
{\displaystyle b,t\in B,}
atunci
(
a
,
b
)
=
(
s
,
t
)
{\displaystyle (a,b)=(s,t)}
și
b
=
t
.
{\displaystyle b=t.}
Definiția produsului cartezian
Fie A {\displaystyle A} și B {\displaystyle B} două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea A {\displaystyle A} și mulțimea B , {\displaystyle B,} mulțimea
A × B := { ( a , b ) : a ∈ A , b ∈ B } . {\displaystyle A\times B:=\{(a,b):a\in A,b\in B\}.}
mulțimea
Fie A = ∅ {\displaystyle A=\varnothing } mulțimea vidă, adică mulțimea care nu conține niciun element. Atunci nu există niciun a ∈ A , {\displaystyle a\in A,} deci ∅ × B = ∅ {\displaystyle \varnothing \times B=\varnothing } . Analog, A × ∅ = ∅ {\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing } și în particular ∅ × ∅ = ∅ {\displaystyle \varnothing \times \varnothing =\varnothing } .
deci
∅
×
B
=
∅
{\displaystyle \varnothing \times B=\varnothing }
. Analog,
A
×
∅
=
∅
{\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing }
și în particular
∅
×
∅
=
∅
{\displaystyle \varnothing \times \varnothing =\varnothing }
.
Produsul cartezian A × A {\displaystyle A\times A} se notează și A 2 . {\displaystyle A^{2}.}
se notează și
A
2
.
{\displaystyle A^{2}.}
Proprietăți algebrice
Ca operație binară, produsul cartezian are următoarele proprietăți algebrice:
- Este necomutativ, adică A × B ≠ B × A {\displaystyle A\times B\neq B\times A} (cu excepția cazurilor A = ∅ {\displaystyle A=\varnothing } sau B = ∅ {\displaystyle B=\varnothing } sau A = B {\displaystyle A=B} ).
- Conservă proprietatea de incluziune: dacă A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq C} și B ⊆ D {\displaystyle B\subseteq D} , atunci A × B ⊆ C × D . {\displaystyle A\times B\subseteq C\times D.}
- Este distributiv față de reuniune (
∪
{\displaystyle \cup }
), intersecție (
∩
{\displaystyle \cap }
) și diferență (
∖
{\displaystyle \setminus }
):
- A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)} ;
- A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)} ;
- A × ( B ∖ C ) = ( A × B ) ∖ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)} ;
- ( A ∪ B ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C ) {\displaystyle (A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)} ;
- ( A ∩ B ) × C = ( A × C ) ∩ ( B × C ) {\displaystyle (A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)} ;
- ( A ∖ B ) × C = ( A × C ) ∖ ( B × C ) {\displaystyle (A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)} .
(cu excepția cazurilor
A
=
∅
{\displaystyle A=\varnothing }
sau
A
=
B
{\displaystyle A=B}
).
și
B
⊆
D
{\displaystyle B\subseteq D}
, atunci
A
×
B
⊆
C
×
D
.
{\displaystyle A\times B\subseteq C\times D.}
), 
) și diferență (
∖
{\displaystyle \setminus }
):
;
;
;
;
;
.Cardinal
Pentru orice mulțimi finite A {\displaystyle A} și B , {\displaystyle B,} cardinali mulțimilor A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} și A × B {\displaystyle A\times B} — adică numerele lor respective de elemente — verifică:
C a r d ( A × B ) = C a r d ( A ) × C a r d ( B ) {\displaystyle \mathrm {Card} (A\times B)=\mathrm {Card} (A)\times \mathrm {Card} (B)}
— adică numerele lor respective de elemente — verifică:
De fapt, această egalitate este adevărată pentru orice mulțimi (finite sau infinite), cu condiția ca înmulțirea să fi fost definită pentru numerele cardinale.
Generalizare la n mulțimi
 | Această secțiune este un ciot. Puteți ajuta Wikipedia prin completarea sa ! |
În cazul a trei mulțimi produsul cartezian constă în triplete ordonate. Pentru n mulțimi se formează n-upluri ordonate.
Bibliografie
- Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
- Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004.