Reuniune (matematică)

În teoria mulțimilor, reuniunea (notată cu ∪) a unei colecții de mulțimi este mulțimea tuturor elementelor din colecție.^[1] Este una dintre operațiile fundamentale prin care mulțimile pot fi combinate și legate între ele.

Reunirea a două mulțimi A și B este mulțimea de elemente care sunt în A, în B sau și în A, și în B.^[2] În simboluri:

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}}$.^[3]

De exemplu, dacă A = {1, 3, 5, 7} iar B = {1, 2, 4, 6, 7}, atunci A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un exemplu mai elaborat (care implică două mulțimi infinite) este:

A = {x este un întreg par mai mare ca 1}

B = {x este un întreg impar mai mare ca 1}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

Ca un alt exemplu, numărul 9 nu este cuprins în reuniunea mulțimii numerelor prime {2, 3, 5, 7, 11, ...} și a mulțimii de numere pare {2, 4, 6, 8, 10 , ...}, deoarece 9 nu este nici prim și nici par.

Mulțimile nu pot avea elemente duplicate,^[3][4] deci reuniunea mulțimilor {1, 2, 3} și {2, 3, 4} este {1, 2, 3, 4}. Aparițiile multiple ale elementelor identice nu au niciun efect asupra cardinalității unei mulțimi sau a conținutului acesteia.

Reuniunea binară este o operație asociativă; adică pentru orice mulțimi A, B și C,

${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$

Operațiile pot fi efectuate în orice ordine, iar parantezele pot fi omise fără ambiguitate (adică oricare expresie dintre cele de mai sus poate fi exprimată echivalent ca A ∪ B ∪ C). În mod similar, reuniunea este comutativă, astfel încât mulțimile pot fi scrise în orice ordine.^[5]

Mulțimea vidă este elementul neutru pentru operația de reuniune. Adică A ∪ ∅ = A pentru orice mulțime A. Acest lucru rezultă din fapte analoage despre disjuncția logică.

Deoarece mulțimile cu uniuni și intersecții formează o algebră booleană, intersecția este distributivă pe reuniune

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

iar reuniunea este distributivă pe intersecție

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$ .^[2]

În cadrul unei mulțimi universale date, reuniunea poate fi scrisă în termeni de operații de intersecție și complement ca

${\displaystyle A\cup B=\left(A^{C}\cap B^{C}\right)^{C}}$

unde exponentul ^C indică complementul față de mulțimea universală. Reuniunea unei mulțimi cu ea însăși este idempotentă:

${\displaystyle A\cup A=A}$

Se poate face reuniunea mai multor mulțimi simultan. De exemplu, reuniunea a trei mulțimi A, B și C conține toate elementele lui A, toate elementele lui B, toate elementele lui C și nimic altceva. Astfel, x este un element al A ∪ B ∪ C dacă și numai dacă x este în cel puțin una dintre mulțimile A, B sau C.

O reuniune finită este reuniunea unui număr finit de mulțimi; fraza nu implică faptul ca reuniunea să fie o mulțime finită.^[6][7]

Orice mulțime se poate scrie ca reuniune a unor mulțimi disjuncte două câte două, acestea formând partiții ale mulțimii respective. Mai departe acest rezultat este încorporat în teoria probabilităților, de exemplu în teorema lui Bayes.

Noțiunea cea mai generală este reuniunea unei colecții arbitrare de mulțimi. Dacă M este o mulțime sau o clasă ale cărei elemente sunt mulțimi, atunci x este un element al reuniunii lui M dacă și numai dacă există cel puțin un element A al lui M astfel încât x să fie un element al lui A.^[8] În simboluri:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Această idee rezumă secțiunile precedente — de exemplu A ∪ B ∪ C este reuniunea colecției {A, B, C}. De asemenea, dacă M este colecția vidă, atunci reuniunea lui M este o mulțime vidă.

Notația pentru conceptul general poate varia considerabil. Pentru o reuniune finită de mulțimi ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$ unii scriu adesea ${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$ sau ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$. Diferite notații întâlnite pentru reuniunile arbitrare sunt ${\displaystyle \bigcup \mathbf {M} }$, ${\displaystyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$ și ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$.^[9] Ultima dintre aceste notații se referă la reuniunea colecției ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$, unde I este o mulțime de indici și ${\displaystyle A_{i}}$ este câte o mulțime pentru fiecare ${\displaystyle i\in I}$. În cazul în care mulțimea de indici I este mulțimea numerelor naturale se folosește notația ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$, care este analoagă cu cea a sumei infinite a unei serii.^[8]

Când simbolul "∪" este plasat în fața altor simboluri (în loc să fie între ele), de obicei simbolul este mare.

În Unicode, reuniunea este reprezentată de caracterul 'UNION' (U+222A). În TeX, ${\displaystyle \cup }$ este generat din \cup.

• Materiale media legate de reuniune la Wikimedia Commons
• en Union of sets, Encyclopedia of Mathematics, Springer
• en Infinite Union and Intersection, la ProvenMath, De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.

Portal Matematică