Mulțime vidă

Aspect mută în bara laterală ascunde

În matematică, mulțimea vidă este mulțimea care nu conține niciun element. Se notează cu { } {\displaystyle \{\}} , cu ∅ {\displaystyle \emptyset } sau cu ∅ {\displaystyle \varnothing } (simbol introdus de către Bourbaki).

Existența mulțimii vide este o noțiune subtilă în fundamentele matematicii. În unele sisteme axiomatice, necesită o axiomă specifică (axioma mulțimii vide); în altele poate fi demonstrată. De exemplu, în sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel, dat fiind existența unei mulțimi w {\displaystyle w} , mulțimea vidă se poate defini altfel:

∅ = { u ∈ w ∣ ( u ∈ u ) ∧ ¬ ( u ∈ u ) } , {\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\},}

iar unicitatea ei se deduce din axioma extensivității (de aceea vorbim de mulțimea vidă ci nu de o mulțime vidă).

Proprietăți

Această secțiune este un ciot. Puteți ajuta Wikipedia prin completarea sa !

Mulțimea vidă are următoarele proprietăți:

• ∀ A ,   A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅ {\displaystyle \forall A,\ A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing }
• 2 ∅ = { ∅ } {\displaystyle 2^{\varnothing }=\{\varnothing \}}
• C a r d ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Card} (\varnothing )=0}
• ∀ A ,   ∅ ⊆ A {\displaystyle \forall A,\ \varnothing \subseteq A}
• ∀ A ,   A ∪ ∅ = A {\displaystyle \forall A,\ A\cup \varnothing =A}
• ∀ A ,   A ∩ ∅ = ∅ {\displaystyle \forall A,\ A\cap \varnothing =\varnothing }
• ∀ A ,   A × ∅ = ∅ {\displaystyle \forall A,\ A\times \varnothing =\varnothing }

Pentru orice proprietate logică P:

• ∀ x ∈ ∅ ,   P ( x ) . {\displaystyle \forall x\in \varnothing ,\ P(x).}
• ¬ ( ∃ x ∈ ∅ ,   P ( x ) ) . {\displaystyle \neg (\exists x\in \varnothing ,\ P(x)).}

Bibliografie

• Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.