Suprafață conică

Aspect mută în bara laterală ascunde Un con eliptic, caz particular al unei suprafețe conice

În geometrie o suprafață conică este o suprafață tridimensională formată din reuniunea tuturor dreptelor care trec printr-un punct fix și o curbă spațială.

Definiții

O suprafață conică (generală) este suprafața nemărginită formată prin reuniunea tuturor dreptelor care trec printr-un punct fix, apexul sau vârful și prin orice punct al vreunei curbe spațiale fixe, directoarea, care nu conține vârful. Fiecare dintre aceste drepte este numită generatoare a suprafeței. Directoarea este adesea o curbă plană, într-un plan care nu conține vârful, dar aceasta nu este o cerință.

În general, o suprafață conică este formată din două jumătăți congruente nemărginite unite prin vârf. Fiecare jumătate este numită pânză și este reuniunea tuturor semidreptelor care încep din vârf și trec printr-un punct al unei curbe spațiale fixe. Uneori termenul de „suprafață conică” este folosit pentru a desemna doar una dintre pânze.

Cazuri particulare

Dacă directoarea este un cerc, C , {\displaystyle C,} iar vârful este situat pe axa cercului (dreapta care conține centrul lui C {\displaystyle C} și este perpendiculară pe planul său), se obține suprafața conică circulară dreaptă (un con dublu). În general, când directoarea C {\displaystyle C} este o elipsă, sau orice conică, iar vârful este un punct arbitrar care nu este în planul lui C , {\displaystyle C,} se obține un caz particular de cuadrică.

Ecuații

O suprafață conică, S , {\displaystyle S,} poate fi descrisă parametric prin

S ( t , u ) = v + u q ( t ) {\displaystyle S(t,u)=v+uq(t)} ,

unde v {\displaystyle v} este vârful, iar q {\displaystyle q} este directoarea.

Suprafețe înrudite

Suprafețele conice sunt suprafețe riglate⁠(d), suprafețe care au câte o dreaptă care trece prin fiecare din punctele lor. Părțile de suprafețe conice care nu conțin vârful sunt cazuri particulare de suprafețe desfășurabile, suprafețe care pot fi desfășurate într-un plan fără a se deforma. Când directoarea are proprietatea că unghiul pe care îl parcurge la vârf este exact 2 π , {\displaystyle 2\pi ,} atunci fiecare pânză a suprafeței conice, inclusiv vârful, este o suprafață desfășurabilă.

O suprafață cilindrică poate fi privită ca un caz limită al unei suprafețe conice al cărei vârf este deplasat la infinit într-o anumită direcție. În geometria proiectivă o suprafață cilindrică este doar un caz particular al unei suprafețe conice.

Note

  1. ^ en Adler, Alphonse A. (1912), „1003. Conical surface”, The Theory of Engineering Drawing, D. Van Nostrand, p. 166 
  2. ^ a b en Wells, Webster; Hart, Walter Wilson (1927), Modern Solid Geometry, Graded Course, Books 6-9, D. C. Heath, pp. 400–401 
  3. ^ en Shutts, George C. (1913), „640. Conical surface”, Solid Geometry, Atkinson, Mentzer, p. 410 
  4. ^ en Odehnal, Boris; Stachel, Hellmuth; Glaeser, Georg (2020), „Linear algebraic approach to quadrics”, The Universe of Quadrics, Springer, pp. 91–118, doi:10.1007/978-3-662-61053-4_3, ISBN 9783662610534 
  5. ^ en Young, J. R. (1838), Analytical Geometry, J. Souter, p. 227 
  6. ^ en Gray, Alfred (1997), „19.2 Flat ruled surfaces”, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (ed. 2nd), CRC Press, pp. 439–441, ISBN 9780849371646 
  7. ^ en Mathematical Society of Japan (1993), Ito, Kiyosi, ed., Encyclopedic Dictionary of Mathematics, Vol. I: A–N (ed. 2nd), MIT Press, p. 419 
  8. ^ en Audoly, Basile; Pomeau, Yves (2010), Elasticity and Geometry: From Hair Curls to the Non-linear Response of Shells, Oxford University Press, pp. 326–327, ISBN 9780198506256 
  9. ^ en Giesecke, F. E.; Mitchell, A. (1916), Descriptive Geometry, Von Boeckmann–Jones Company, p. 66