Algebră boreliană

Aspect mută în bara laterală ascunde

Algebra boreliană este un concept al matematicii, utilizat în topologie și teoria măsurii. Numele se datorează matematicianului francez Émile Borel.

Definiție

Fie Ω {\displaystyle \Omega \,} $\Omega \,$ un spațiu topologic. Atunci algebra boreliană asociată este sigma-algebră minimă care conține mulțimile deschise din Ω {\displaystyle \Omega \,} $\Omega \,$ .

O altă definiție (neechivalentă cu prima!) se obține înlocuind termenul de mulțime deschisă cu cel de mulțime compactă.

Generarea algebrei boreliene

În cazul particular în care Ω {\displaystyle \Omega \,} $\Omega \,$ este spațiu metric, algebra boreliană poate fi descrisă astfel:

Fie P ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )} ${\mathcal {P}}(\Omega )$ mulțimea părților lui Ω {\displaystyle \Omega \,} $\Omega \,$ . Definim:

T σ {\displaystyle T_{\sigma }\quad } $T_{\sigma }\quad$ toate reuniunile de mulțimi numărabile din P ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )} ${\mathcal {P}}(\Omega )$ ,

T δ {\displaystyle T_{\delta }\quad } $T_{\delta }\quad$ toate intersecțiile de mulțimi numărabile din P ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )} ${\mathcal {P}}(\Omega )$ ,

T δ σ = ( T δ ) σ {\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }} $T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }$ .

Definim prin inducție un șir G n {\displaystyle G^{n}\,} $G^{n}\,$ unde n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } $n\in \mathbb {N}$ astfel:

G 0 = {\displaystyle G^{0}=} $G^{0}=$ mulțimea tuturor mulțimilor deschise din Ω {\displaystyle \Omega } $\Omega$ .

G i = G i − 1 σ ω {\displaystyle G^{i}={G^{i-1}}_{\sigma \omega }} $G^{i}={G^{i-1}}_{\sigma \omega }$ .

G i = ⋃ j < i G j {\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}{G^{j}}} $G^{i}=\bigcup _{j<i}{G^{j}}$ .

Astfel, algebra boreliană este G n {\displaystyle G^{n}} $G^{n}$ pentru un n indefinit (care tinde la infinit), așadar această algebră poate fi generată plecând de la mulțimea mulțimilor deschise și iterând operația:

G ↦ G δ σ {\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }}

G\mapsto G_{\delta \sigma }

Bibliografie

Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Edituira Enciclopedică Română, București, 1974
Ion, I.D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Legături externe

ro Curs al Universității din București. Arhivat în 14 ianuarie 2005, la Wayback Machine.

en Algebra boreliană la Wolfram MathWorld.

en Algebra boreliană la PlanetMath. Arhivat în 6 octombrie 2007, la Wayback Machine.