Spațiu topologic

Aspect mută în bara laterală ascunde

Un spațiu topologic este o mulțime pe care s-a definit o structură pe baza căreia se definesc noțiunile de vecinătate, convergență și limită.

Ca definiție formală, un spațiu topologic este o pereche ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} $(X,{\mathcal {T}})$ , cu T ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ( P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} ${\mathcal {P}}(X)$ desemnează mulțimea submulțimilor lui X), satisfăcând simultan următoarele proprietăți:

∅ ∈ T {\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {T}}} $\emptyset \in {\mathcal {T}}$ și X ∈ T {\displaystyle X\in {\mathcal {T}}} $X\in {\mathcal {T}}$
dacă A , B ∈ T {\displaystyle A,B\in {\mathcal {T}}} $A,B\in {\mathcal {T}}$ , atunci A ∩ B ∈ T {\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {T}}} $A\cap B\in {\mathcal {T}}$
dacă A ⊆ T {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {T}}} ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {T}}$ , atunci ⋃ A ∈ T {\displaystyle \bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {T}}} $\bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {T}}$

Mulțimile din T {\displaystyle {\mathcal {T}}} ${\mathcal {T}}$ se numesc mulțimi deschise. Proprietatea 1 spune că mulțimea vidă și spațiul însuși trebuie să fie mulțimi deschise. Proprietatea 2 cere ca orice intersecție de două mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă; prin inducție matematică rezultă de aici că intersecția oricărei familii finite de mulțimi deschise este o mulțime deschisă. Proprietatea 3 cere ca reuniunea oricărei familii (nu neapărat finite) de mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă.

Exemple

T = { ∅ , X } {\displaystyle {\mathcal {T}}=\{\emptyset ,X\}} ${\mathcal {T}}=\{\emptyset ,X\}$ este topologia „cea mai grosieră” ce poate fi definită pe o mulțime.
T = P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {T}}={\mathcal {P}}(X)} ${\mathcal {T}}={\mathcal {P}}(X)$ este topologia „cea mai fină” ce poate fi definită, numită topologia discretă.
Dacă d este o funcție distanță (o metrică) definită pe X (X este un spațiu metric), topologia indusă de metrica d are ca mulțimi deschise toate mulțimile care satisfac proprietatea că pentru fiecare punct există o bilă de rază nenulă inclusă în acea mulțime:

T = { A ∈ P ( X ) | ∀ x ∈ A , ∃ ε ∈ ( 0 , ∞ ) : B ( x , ε ) ⊆ A } {\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\in {\mathcal {P}}(X)|\forall x\in A,\exists \varepsilon \in (0,\infty ):B(x,\varepsilon )\subseteq A\}}

{\mathcal {T}}=\{A\in {\mathcal {P}}(X)|\forall x\in A,\exists \varepsilon \in (0,\infty ):B(x,\varepsilon )\subseteq A\}

unde B ( x , ε ) = { y ∈ X | d ( x , y ) < ε } {\displaystyle B(x,\varepsilon )=\{y\in X|d(x,y)<\varepsilon \}} $B(x,\varepsilon )=\{y\in X|d(x,y)<\varepsilon \}$ este bila (deschisă) de centru x și de rază ε {\displaystyle \varepsilon } $\varepsilon$ .

Vecinătăți

Articol principal: Vecinătate (matematică).

Se numește vecinătate a unui punct x ∈ X {\displaystyle x\in X} $x\in X$ al unui spațiu topologic orice submulțime V ⊆ X {\displaystyle V\subseteq X} $V\subseteq X$ ce conține o mulțime deschisă ce conține punctul x {\displaystyle x} $x$ : ∃ D ∈ T : x ∈ D ⊆ V {\displaystyle \exists D\in {\mathcal {T}}\,:\ x\in D\subseteq V} $\exists D\in {\mathcal {T}}\,:\ x\in D\subseteq V$ .

Mulțimi închise

Articol principal: Mulțime închisă.

O submulțime a unui spațiu topologic X se numește închisă dacă complementul său față de spațiul X este o mulțime deschisă.

Din proprietățile mulțimilor deschisă rezultă că mulțimea vidă, întreg spațiul X, orice reuniune finită de mulțimi închise și orice intersecție (posibil infinită) de mulțimi închise este o mulțime închisă.

Mulțimi conexe

Articol principal: Conexitate (topologie).

O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește conexă dacă nu există nici o acoperire a ei prin două mulțimi deschise disjuncte:

∄ A , B ∈ T , A ∩ M ≠ ∅ , B ∩ M ≠ ∅ , A ∩ B = ∅ , A ∪ B ⊇ M {\displaystyle \not \exists A,B\in {\mathcal {T}},A\cap M\neq \emptyset ,B\cap M\neq \emptyset ,A\cap B=\emptyset ,A\cup B\supseteq M}

\not \exists A,B\in {\mathcal {T}},A\cap M\neq \emptyset ,B\cap M\neq \emptyset ,A\cap B=\emptyset ,A\cup B\supseteq M

Pentru întregul spațiu X, condiția de conexitate este echivalentă cu aceea de-a nu avea altă submulțime simultan închisă și deschisă decât mulțimea vidă și întregul spațiu.

Mulțimi compacte

Articol principal: Mulțime compactă.

O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește compactă dacă din orice acoperire deschisă a ei se poate extrage o acoperire finită. Mai exact, pentru orice familie F ⊆ T {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {T}}} ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {T}}$ satisfăcând ⋃ F ⊇ M {\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}\supseteq M} $\bigcup {\mathcal {F}}\supseteq M$ , există o subfamilie F 0 ⊆ F {\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}} ${\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}$ satisfăcând ⋃ F 0 ⊇ M {\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}_{0}\supseteq M} $\bigcup {\mathcal {F}}_{0}\supseteq M$ .

Extinderi ale conceptului

Pentru orice structură algebrică se poate introduce o topologie discretă.

Bibliografie

Andrei Iacob, Metode topologice în mecanica clasică, Editura Academiei RSR, 1973.

Vezi și

v d m Topologie
Domenii	Teoria generală Algebrică Combinatorică Continuum Diferențială Geometrică Mulțimi de numere Omologie (Co-omologie)
Concepte de bază	Mulțime deschisă / Mulțime închisă Continuitate Spațiu compact Hausdorff metric uniform Omotopie (Grup omotopic) Grup fundamental Complex simplicial CW complex Secvență exactă Algebră omologică K-teorie
Glosar/Liste	Subiecte generale algebrice geometrice Publicații