Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.
Lungimea b a {\displaystyle b_{a}} cosinusul măsurii A/2 a acestui semiunghi e:
b a = 2 b c b + c cos A 2 . {\displaystyle b_{a}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}}.} a unei bisectoare a unui triunghi în funcție de laturile unghiului bisecționat b, c șiEgalitatea se poate obține dintr-o egalitate de arii a triunghiului ABC cu cele ale triunghiurilor determinate de bisectoarea unghiului A pe latura opusă.
Dacă bisectoarea internă a unghiului A în orice triunghi ABC cu lungimea b a {\displaystyle b_{a}}
b a 2 + m n = b c {\displaystyle b_{a}^{2}+mn=bc} divide latura opusă unghiului in segmente de lungimi m și n, atunciunde b, c sunt laturi opuse vârfurilor B și C; iar latura a opusă lui A e împărțită în raportul b:c = m:n.
Egalitatea se obține folosind teorema lui Stewart și teorema bisectoarei. Din expresia teoremei bisectoarei B D C D = A B A C {\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}} sau m n = c b {\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {c}{b}}} se obține o egalitate de produse de lungimi A B ∗ C D = A C ∗ B D {\displaystyle AB*CD=AC*BD} sau m b = n c {\displaystyle mb=nc} , care se substituie în expresia teoremei lui Stewart a ( b a 2 + m n ) = b 2 m + c 2 n . {\displaystyle a(b_{a}^{2}+mn)=b^{2}m+c^{2}n.\,}
Partea dreaptă a egalității din teorema lui Stewart devine după substituire:
b 2 m + c 2 n = b m b + c n c = c n ( b + c ) {\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=bmb+cnc=cn(b+c)}Pentru substituire este necesară și exprimarea sumei lungimilor laturilor b și c tot pe baza teoremei bisectoarei.
b + c = b + m n b = b m + n n = b n a {\displaystyle b+c=b+{\frac {m}{n}}b=b{\frac {m+n}{n}}={\frac {b}{n}}a}După substituire c n ( b + c ) = c n b n a = c b a {\displaystyle cn(b+c)=cn{\frac {b}{n}}a=cba}
Egalizarea cu partea stângă dă:
a ( b a 2 + m n ) = c b a {\displaystyle a(b_{a}^{2}+mn)=cba}Lungimea laturii a apărând în ambii membri ai egalității aceasta se împarte cu a rezultând egalitatea enunțată.
Dacă bisectoarele interne ale unghiurilor A, B, and C au lungimile b a , b b , {\displaystyle b_{a},b_{b},}
( b + c ) 2 b c b a 2 + ( c + a ) 2 c a b b 2 + ( a + b ) 2 a b b c 2 = ( a + b + c ) 2 . {\displaystyle {\frac {(b+c)^{2}}{bc}}b_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}b_{b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}b_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.} and b c {\displaystyle b_{c}} , atunciÎn geometria analitică se pot scrie ecuațiile celor două bisectoare (internă și externă, perpendiculare între ele) ale unghiului determinat de două drepte de ecuații carteziene:
( d 1 ) A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , {\displaystyle (d_{1})\;\;A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,} ( d 2 ) A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. {\displaystyle (d_{2})\;\;A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0.}Ecuațiile celor două bisectoare sunt:
A 1 x + B 1 y + C 1 A 1 2 + B 1 2 = A 2 x + B 2 y + C 2 A 2 2 + B 2 2 , {\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}={\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}},} A 1 x + B 1 y + C 1 A 1 2 + B 1 2 = − A 2 x + B 2 y + C 2 A 2 2 + B 2 2 . {\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}=-{\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}.}Se consideră dreptele de ecuații:
x − a l 1 = y − b m 1 = z − c n 1 , {\displaystyle {\frac {x-a}{l_{1}}}={\frac {y-b}{m_{1}}}={\frac {z-c}{n_{1}}},} x − a l 2 = y − b m 2 = z − c n 2 . {\displaystyle {\frac {x-a}{l_{2}}}={\frac {y-b}{m_{2}}}={\frac {z-c}{n_{2}}}.}Atunci ecuațiile parametrice ale bisectoarelor unghiului determinat de acestea sunt:
x = a + ( l 1 D 1 ± l 2 D 2 ) ⋅ t , {\displaystyle x=a+\left({\frac {l_{1}}{D_{1}}}\pm {\frac {l_{2}}{D_{2}}}\right)\cdot t,} y = b + ( m 1 D 1 ± m 2 D 2 ) ⋅ t , {\displaystyle y=b+\left({\frac {m_{1}}{D_{1}}}\pm {\frac {m_{2}}{D_{2}}}\right)\cdot t,} z = c + ( n 1 D 1 ± n 2 D 2 ) ⋅ t , {\displaystyle z=c+\left({\frac {n_{1}}{D_{1}}}\pm {\frac {n_{2}}{D_{2}}}\right)\cdot t,}unde:
D 1 = l 1 2 + m 1 2 + n 1 2 , {\displaystyle D_{1}={\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}}},} D 2 = l 2 2 + m 2 2 + n 2 2 . {\displaystyle D_{2}={\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}}}.}Se consideră triunghiul ABC, dat prin coordonatele vârfurilor: A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})} și cu lungimile laturilor a, b, c. Atunci ecuațiile bisectoarelor vârfului A sunt:
| x y 1 x 3 y 3 1 x 1 y 1 1 | b ± | x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 | c = 0 , {\displaystyle {\frac {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{3}&y_{3}&1\\x_{1}&y_{1}&1\end{vmatrix}}{b}}\pm {\frac {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}{c}}=0,}unde semnele + {\displaystyle +}
și − {\displaystyle -} se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară, corespunzătoare unghiului A.Ecuații similare se obțin și pentru bisectoarele unghiurilor B și C.