Identități trigonometrice
Aspect mută în bara laterală ascunde
Toate funcțiile trigonometrice de unghi θ pot fi construite geometric în termenii cercului unitate cu centrul în O. Unele dintre aceste funcții nu mai sunt folosite în prezent.
Sinusul și cosinusul unor unghiuri particulare din cercul cu raza egală cu unitatea.
În matematică, identitățile trigonometrice sunt egalități care implică funcții trigonometrice și sunt adevărate pentru fiecare unică valoare a variabilei care apare. Geometric, acestea sunt identități care implică funcții de unul sau mai multe unghiuri. Acestea sunt distincte de identitățile triunghiurilor, care implică atât unghiurile cât și laturile triunghiului. Acest articol acoperă doar identitățile trigonometrice.
Aceste identități sunt utilizate acolo unde apar expresii care implică funcții trigonometrice, care trebuie să fie simplificate. O aplicație importantă este aceea a integralelor care nu conțin funcții trigonometrice, dar care implică folosirea acestor funcții prin aplicarea metodei substituției variabilelor, iar apoi simplificând integrala rezultantă prin identitățile trigonometrice.
Notații
Unghiuri
În general, pentru notația unghiurilor se folosesc literele grecești, precum alpha (α), beta (β), gamma (γ), theta (θ) etc. Sunt larg răspândite câteva modalități de măsurare a unghiurilor care folosesc unități de măsură precum radiani, grade sexagesimale și grade centezimale.
unghiul la centru corespunzător unui cerc întreg = 360° = 2 π {\displaystyle \pi } radiani = 400 grade centezimale.
radiani = 400 grade centezimale.
Următorul tablou arată conversiile pentru câteva unghiuri uzuale:
| grade | 30° | 60° | 120° | 150° | 210° | 240° | 300° | 330° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radiani | π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} | π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} | 2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}} | 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}} | 7 π 6 {\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}} | 4 π 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}} | 5 π 3 {\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}} | 11 π 6 {\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}} |
| grade cent | 33⅓ grd c | 66⅔ grd c | 133⅓ grd c | 166⅔ grd c | 233⅓ grd c | 266⅔ grd c | 333⅓ grd c | 366⅔ grd c |
| grade | 45° | 90° | 135° | 180° | 225° | 270° | 315° | 360° |
| Radiani | π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} | π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} | 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}} | π {\displaystyle \pi \,} | 5 π 4 {\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}} | 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}} | 7 π 4 {\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}} | 2 π {\displaystyle 2\pi \,} |
| grade cent | 50 grd c | 100 grd c | 150 grd c | 200 grad | 250 grd c | 300 grd c | 350 grd c | 400 grad |
Dacă nu se specifică altfel, toate unghiurile din acest articol sunt date în radiani, iar unghiurile care se termină prin simbolul (°) sunt date în grade sexagesimale.
Funcții trigonometrice
Funcțiile trigonometrice primare sunt sinusul și cosinusul unui unghi. Acestea sunt câteodată abreviate sin(θ) și cos(θ), θ fiind unghiul, dar de multe ori parantezele din jurul unghiului sunt omise, scriindu-se sin θ și cos θ.
Tangenta, notată tg sau tan, unui unghi este raportul dintre sinus și cosinus:
tan θ = sin θ cos θ . {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.}
În final putem defini funcțiile reciproce, respectiv, secanta (sec) pentru cosinus, cosecanta (cosec sau csc) pentru sinus și cotangenta (ctg sau cot) pentru tangentă:
sec θ = 1 cos θ , csc θ = 1 sin θ , cot θ = 1 tan θ = cos θ sin θ . {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.}
Funcții trigonometrice inverse
Articol principal: Funcții trigonometrice inverse.Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcții inverse parțiale ale funcțiilor trigonometrice. De exemplu, inversa funcției sinus, cunoscută ca arcsin, satisface formula:
sin ( arcsin x ) = x {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\!}
iar
arcsin ( sin θ ) = θ pentru − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2. {\displaystyle \arcsin(\sin \theta )=\theta \quad {\text{pentru }}-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.}
În acest articol sunt folosite următoarele notații pentru funcțiile trigonometrice inverse:
| Funcția | sin | cos | tan | sec | csc | cot |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Funcția inversă | arcsin | arccos | arctan | arcsec | arccsc | arccot |
Identitatea lui Pitagora
Relația de bază dintre sinus și cosinus este identitatea trigonometrică a lui Pitagora:
cos 2 θ + sin 2 θ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!}
Aceasta poate fi văzută ca o versiune a teoremei lui Pitagora și se deduce din ecuația x2 + y2 = 1 pentru cercul unitate. Această ecuație poate fi rezolvată fie pentru sinus, fie pentru cosinus:
sin θ = ± 1 − cos 2 θ și cos θ = ± 1 − sin 2 θ . {\displaystyle \sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad {\text{și}}\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\,}
Identități similare
Divizând identitatea lui Pitagora prin cos2 θ sau sin2 θ se obțin alte două identități:
1 + tan 2 θ = sec 2 θ și 1 + cot 2 θ = csc 2 θ . {\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \quad {\text{și}}\quad 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta .\!}
Folosind aceste identități împreună cu identitățile de rapoarte, orice funcție trigonometrică se poate exprima în funcție de alte funcții trigonometrice (cu excepția semnului plus sau minus):
Scurt istoric
Funcțiile versin, coversin, haversin și exsecant au fost folosite în navigație. De exemplu formula haversin-ului a fost folosită pentru a calcula distanța dintre două puncte de pe sferă. În ziua de azi au ieșit din uz și sunt foarte rar folosite.
| Name(s) | Abbreviation(s) | Value |
|---|---|---|
| versed sine, versin |
versin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {versin} (\theta )}
vers ( θ ) {\displaystyle \operatorname {vers} (\theta )} ver ( θ ) {\displaystyle \operatorname {ver} (\theta )} |
1 − cos ( θ ) {\displaystyle 1-\cos(\theta )\!} |
| versed cosine, vercosin | vercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {vercosin} (\theta )} | 1 + cos ( θ ) {\displaystyle 1+\cos(\theta )\!} |
| coversed sine, coversin |
coversin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta )}
cvs ( θ ) {\displaystyle \operatorname {cvs} (\theta )} |
1 − sin ( θ ) {\displaystyle 1-\sin(\theta )\!} |
| coversed cosine, covercosin | covercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {covercosin} (\theta )} | 1 + sin ( θ ) {\displaystyle 1+\sin(\theta )\!} |
| haversed sine, haversin | haversin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {haversin} (\theta )} | 1 − cos ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1-\cos(\theta )}{2}}} |
| haversed cosine, havercosin | havercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {havercosin} (\theta )} | 1 + cos ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}} |
| hacoversed sine, hacoversin cohaversine |
hacoversin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {hacoversin} (\theta )} | 1 − sin ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1-\sin(\theta )}{2}}} |
| hacoversed cosine, hacovercosin cohavercosine |
hacovercosin ( θ ) {\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (\theta )} | 1 + sin ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {1+\sin(\theta )}{2}}} |
| exterior secant, exsecant | exsec ( θ ) {\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )} | sec ( θ ) − 1 {\displaystyle \sec(\theta )-1\!} |
| exterior cosecant, excosecant | excsc ( θ ) {\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )} | csc ( θ ) − 1 {\displaystyle \csc(\theta )-1\!} |
| coardă | crd ( θ ) {\displaystyle \operatorname {crd} (\theta )} | 2 sin ( θ 2 ) {\displaystyle 2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)} |
Simetrie, deplasare și periodicitate
Prin examinarea cercului unitate, se pot stabili următoarele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice.
Simetria
Deoarece funcțiile trigonometrice sunt ciclice pentru unghiuri, rezultatul este adesea o altă funcție trigonometrică. Acest lucru conduce la următoarele identități:
Deplasare și periodicitate
Deplasând funcția cu un anumit unghi, adesea este posibil să obținem o funcție trigonometrică diferită care exprimă rezultatul mult mai simplu. Sunt arătate câteva exemple de funcții deplasate cu π/2, π și 2π radiani. Deoarece perioada acestor funcții este π sau 2π, sunt cazuri în care noua funcție este exact aceeași ca cea veche, dar fără deplasare.
Identități ale sumei și diferenței unghiurilor
Ilustrare a formulei sumei
Ilustrarea formulelor pentru sinus și cosinus, evidențiind segmentul de lungime unitate
Ele au fost stabilite pentru prima dată în secolul al X-lea de matematicianul persan Abū al-Wafā' Būzjānī.
O metodă de a demonstra aceste identități este aceea de a aplica formula lui Euler.
Exprimare prin produs matricial
Formulele sumei și diferenței pentru sinus și cosinus pot fi scrise sub formă matricială:
( cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ) ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) = ( cos ϕ cos θ − sin ϕ sin θ − cos ϕ sin θ − sin ϕ cos θ sin ϕ cos θ + cos ϕ sin θ − sin ϕ sin θ + cos ϕ cos θ ) = ( cos ( θ + ϕ ) − sin ( θ + ϕ ) sin ( θ + ϕ ) cos ( θ + ϕ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{array}}\right)\\&=\left({\begin{array}{rr}\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta &-\cos \phi \sin \theta -\sin \phi \cos \theta \\\sin \phi \cos \theta +\cos \phi \sin \theta &-\sin \phi \sin \theta +\cos \phi \cos \theta \end{array}}\right)\\&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\theta +\phi )&-\sin(\theta +\phi )\\\sin(\theta +\phi )&\cos(\theta +\phi )\end{array}}\right)\end{aligned}}}
Suma Sinusului și a Cosinusului pentru o infinitate de unghiuri
sin ( ∑ i = 1 ∞ θ i ) = ∑ odd k ≥ 1 ( − 1 ) ( k − 1 ) / 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = k ( ∏ i ∈ A sin θ i ∏ i ∉ A cos θ i ) {\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)} cos ( ∑ i = 1 ∞ θ i ) = ∑ even k ≥ 0 ( − 1 ) k / 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = k ( ∏ i ∈ A sin θ i ∏ i ∉ A cos θ i ) {\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}
cos
(
∑
i
=
1
∞
θ
i
)
=
∑
even
k
≥
0
(
−
1
)
k
/
2
∑
A
⊆
{
1
,
2
,
3
,
…
}
|
A
|
=
k
(
∏
i
∈
A
sin
θ
i
∏
i
∉
A
cos
θ
i
)
{\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}
În aceste două identități apare o asimetrie care nu apare în cazul sumării unui număr finit de unghiuri. În fiecare produs, există numai factori sinus finiți și factori cosinus cofiniți(d).
Tangenta sumei mai multor unghiuri
Fie ek (pentru k ∈ {0, ..., n}) polinomul simetric elementar de grad k în variabilele:
x i = tan θ i {\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}\,}
pentru i ∈ {0, ..., n}, adică:
e 0 = 1 e 1 = ∑ 1 ≤ i ≤ n x i = ∑ 1 ≤ i ≤ n tan θ i e 2 = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n x i x j = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n tan θ i tan θ j e 3 = ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n x i x j x k = ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n tan θ i tan θ j tan θ k ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\e_{1}&=\sum _{1\leq i\leq n}x_{i}&&=\sum _{1\leq i\leq n}\tan \theta _{i}\\e_{2}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}&&=\sum _{1\leq i<j\leq n}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\e_{3}&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}
Atunci
tan ( θ 1 + ⋯ + θ n ) = e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ , {\displaystyle \tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},}
numărul de termeni depinzând de n.
De exemplu:
tan ( θ 1 + θ 2 ) = e 1 e 0 − e 2 = x 1 + x 2 1 − x 1 x 2 = tan θ 1 + tan θ 2 1 − tan θ 1 tan θ 2 , tan ( θ 1 + θ 2 + θ 3 ) = e 1 − e 3 e 0 − e 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) − ( x 1 x 2 x 3 ) 1 − ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) , tan ( θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 ) = e 1 − e 3 e 0 − e 2 + e 4 = ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) − ( x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 ) 1 − ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 ) + ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}
și așa mai departe. Cazul general poate fi demonstrat prin inducție matematică.
Secanta sumei mai multor unghiuri
sec ( θ 1 + ⋯ + θ n ) = sec θ 1 ⋯ sec θ n e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ {\displaystyle \sec(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}}
în care ek este polinomul simetric elementar de grad k de n variabile xi = tan θi, i = 1, ..., n, iar numărul de termeni ai numitorului depind de n.
De exemplu,
sec ( α + β + γ ) = sec α sec β sec γ 1 − tan α tan β − tan α tan γ − tan β tan γ . {\displaystyle \sec(\alpha +\beta +\gamma )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}.}
Formula unghiurilor multiple
| Tn este polinomul Cebîșev de grad n | cos n θ = T n ( cos θ ) {\displaystyle \cos n\theta =T_{n}(\cos \theta )\,} |
|---|---|
| Sn este polinomul de dispersie de grad n | sin 2 n θ = S n ( sin 2 θ ) {\displaystyle \sin ^{2}n\theta =S_{n}(\sin ^{2}\theta )\,} |
| Formula lui Moivre, i {\displaystyle i} este unitatea imaginară | cos n θ + i sin n θ = ( cos ( θ ) + i sin ( θ ) ) n {\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))^{n}\,} |
este 
Această funcție de x fiind nucleul lui Dirichlet.
Formulele unghiurilor duble, triple și a jumătății de unghi
Acestea pot fi obținute fie din identitățile sumei și diferenței, sau din formulelor multiplilor unghiurilor:
Faptul că formula unghiului triplu pentru sinus și cosinus implică puterile aceleiași funcții permite să se facă legătura dintre trisecțiunea unghiului cu rigla și compasul cu rezolvarea ecuației cubice, arătând că acest lucru este imposibil în general.
Există o formulă de calcul a identității trigonometrice pentru unghiul triplu, dar acesta cere găsirea rădăcinilor pentru ecuația cubică x 3 − 3 x + d 4 = 0 {\displaystyle x^{3}-{\frac {3x+d}{4}}=0} , în care x este valoarea necunoscută a funcției sinus a unghiului, iar d este valoarea cunoscută a funcției sinus pentru unghiul triplu. Oricum, discriminantul acestei ecuații este negativ, deci ecuația are trei rădăcini reale din care numai una este soluția căutată, dar niciuna din soluții nu este reductibilă la o expresie algebrică reală, astfel că, se folosesc numere complexe intermediare ale rădăcinii cubice, care se pot exprima numai prin termenii reali ai funcțiilor, folosind funcții hiperbolice.
, în care x este valoarea necunoscută a funcției sinus a unghiului, iar d este valoarea cunoscută a funcției sinus pentru unghiul triplu. Oricum, Sinus, cosinus și tangenta unghiurilor multiple
Pentru unghiuri multiple specifice, acestea rezultă din formulele specifice de adunare a unghiurilor, în timp ce formula generală a fost găsita de matematicianul francez François Viète.
sin n θ = ∑ k = 0 n ( n k ) cos k θ sin n − k θ sin ( 1 2 ( n − k ) π ) {\displaystyle \sin n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)} cos n θ = ∑ k = 0 n ( n k ) cos k θ sin n − k θ cos ( 1 2 ( n − k ) π ) {\displaystyle \cos n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)}
cos
n
θ
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
cos
k
θ
sin
n
−
k
θ
cos
(
1
2
(
n
−
k
)
π
)
{\displaystyle \cos n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)}
tan nθ poate fi scrisă în funcție de tan θ folosind relația de recurență:
tan ( n + 1 ) θ = tan n θ + tan θ 1 − tan n θ tan θ . {\displaystyle \tan \,(n{+}1)\theta ={\frac {\tan n\theta +\tan \theta }{1-\tan n\theta \,\tan \theta }}.}
iar cot nθ poate fi scrisă în funcție de cot θ folosind relația de recurență:
cot ( n + 1 ) θ = cot n θ cot θ − 1 cot n θ + cot θ . {\displaystyle \cot \,(n{+}1)\theta ={\frac {\cot n\theta \,\cot \theta -1}{\cot n\theta +\cot \theta }}.}
Metoda Cebîșev
Metoda Cebîșev este un algoritm recursiv pentru a afla formula celui de al n-lea multiplu al unui unghi cunoscând formulele pentru al (n − 1)-lea și al (n − 2)-lea.
Cosinusul pentru nx poate fi calculat din cosinusurile pentru (n − 1)x și (n − 2)x după cum urmează:
cos n x = 2 ⋅ cos x ⋅ cos ( n − 1 ) x − cos ( n − 2 ) x {\displaystyle \cos nx=2\cdot \cos x\cdot \cos(n-1)x-\cos(n-2)x\,}
Similar sin(nx) poate fi calculat din sinusul pentru (n − 1)x și (n − 2)x:
sin n x = 2 ⋅ cos x ⋅ sin ( n − 1 ) x − sin ( n − 2 ) x {\displaystyle \sin nx=2\cdot \cos x\cdot \sin(n-1)x-\sin(n-2)x\,}
Pentru tangentă este valabilă relația:
tan n x = tan ( n − 1 ) x + tan x 1 − tan ( n − 1 ) x tan x {\displaystyle \tan nx={\frac {\tan(n-1)x+\tan x}{1-\tan(n-1)x\tan x}}\,}
Tangenta mediei
tan ( α + β 2 ) = sin α + sin β cos α + cos β = − cos α − cos β sin α − sin β {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}}
Setând α sau β la 0 găsim formula uzuală a tangentei jumătății unghiului.
Produsul infinit al lui Viète
cos ( θ 2 ) ⋅ cos ( θ 4 ) ⋅ cos ( θ 8 ) ⋯ = ∏ n = 1 ∞ cos ( θ 2 n ) = sin ( θ ) θ = sinc θ . {\displaystyle \cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }=\operatorname {sinc} \,\theta .}
Formulele puterilor
Se obțin rezolvând versiunile a doua și a treia a formulelor cosinusului unghiului dublu.
| Sinus | Cosinus | Altele |
|---|---|---|
| sin 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}} | cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}} | sin 2 θ cos 2 θ = 1 − cos 4 θ 8 {\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}} |
| sin 3 θ = 3 sin θ − sin 3 θ 4 {\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}} | cos 3 θ = 3 cos θ + cos 3 θ 4 {\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}} | sin 3 θ cos 3 θ = 3 sin 2 θ − sin 6 θ 32 {\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}} |
| sin 4 θ = 3 − 4 cos 2 θ + cos 4 θ 8 {\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}} | cos 4 θ = 3 + 4 cos 2 θ + cos 4 θ 8 {\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}} | sin 4 θ cos 4 θ = 3 − 4 cos 4 θ + cos 8 θ 128 {\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}} |
| sin 5 θ = 10 sin θ − 5 sin 3 θ + sin 5 θ 16 {\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}} | cos 5 θ = 10 cos θ + 5 cos 3 θ + cos 5 θ 16 {\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}} | sin 5 θ cos 5 θ = 10 sin 2 θ − 5 sin 6 θ + sin 10 θ 512 {\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}} |
iar termenii generali al puterilor funcțiilor sin θ sau cos θ sunt (pot fi deduși din formula lui Moivre, formula lui Euler sau binomul lui Newton).
| Cosinus | Sinus | |
|---|---|---|
| Dacă n este impar {\displaystyle {\text{Dacă }}n{\text{ este impar}}} | cos n θ = 2 2 n ∑ k = 0 n − 1 2 ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {((n-2k)\theta )}} | sin n θ = 2 2 n ∑ k = 0 n − 1 2 ( − 1 ) ( n − 1 2 − k ) ( n k ) sin ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{({\frac {n-1}{2}}-k)}{\binom {n}{k}}\sin {((n-2k)\theta )}} |
| Dacă n este par {\displaystyle {\text{Dacă }}n{\text{ este par}}} | cos n θ = 1 2 n ( n n 2 ) + 2 2 n ∑ k = 0 n 2 − 1 ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {((n-2k)\theta )}} | sin n θ = 1 2 n ( n n 2 ) + 2 2 n ∑ k = 0 n 2 − 1 ( − 1 ) ( n 2 − k ) ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{({\frac {n}{2}}-k)}{\binom {n}{k}}\cos {((n-2k)\theta )}} |
Identitățile produselor prin sumă și al sumelor prin produse
Identitățile produsului prin sumă pot fi demonstrate prin aplicarea formulelor de adunare și scădere a unghiurilor.
Alte identități similare
Dacă x, y și z sunt cele trei unghiuri ale oricărui triunghi, sau cu alte cuvinte:
dacă x + y + z = π {\displaystyle \ x+y+z=\pi \ } , atunci tan ( x ) + tan ( y ) + tan ( z ) = tan ( x ) tan ( y ) tan ( z ) . {\displaystyle {\text{ }}\tan(x)+\tan(y)+\tan(z)=\tan(x)\tan(y)\tan(z).\,}
,
atunci
tan
(
x
)
+
tan
(
y
)
+
tan
(
z
)
=
tan
(
x
)
tan
(
y
)
tan
(
z
)
.
{\displaystyle {\text{ }}\tan(x)+\tan(y)+\tan(z)=\tan(x)\tan(y)\tan(z).\,}
Dacă oricare unghi x, y sau z este un unghi de 90°, ambele părți ale egalului sunt infinite, dar nu sunt nici +∞ nici −∞. Pentru scopul actual are sens doar adăugarea punctului de la infinit de pe axa reală, abordată de tan(θ) drept tan(θ), fie prin valori pozitiv crescătoare, fie prin valori negativ descrescătoare. Aceasta este compactificarea topologică a axei reale.
dacă x + y + z = π {\displaystyle \ x+y+z=\pi \ } , atunci sin ( 2 x ) + sin ( 2 y ) + sin ( 2 z ) = 4 sin ( x ) sin ( y ) sin ( z ) . {\displaystyle {\text{ }}\sin(2x)+\sin(2y)+\sin(2z)=4\sin(x)\sin(y)\sin(z).\,}
Identitatea cotangentă a lui Hermite
Charles Hermite a demonstrat următoarea identitate. Presupunând că a1, ..., an sunt numere complexe, fară ca două din ele să difere printr-un multiplu întreg al lui π. Fie
A n , k = ∏ 1 ≤ j ≤ n j ≠ k cot ( a k − a j ) {\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}
(în particular, A1,1, fiind un produs vid este 1). Atunci
cot ( z − a 1 ) ⋯ cot ( z − a n ) = cos n π 2 + ∑ k = 1 n A n , k cot ( z − a k ) . {\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}
Cel mai simplu și netrivial exemplu este cazul n = 2:
cot ( z − a 1 ) cot ( z − a 2 ) = − 1 + cot ( a 1 − a 2 ) cot ( z − a 1 ) + cot ( a 2 − a 1 ) cot ( z − a 2 ) {\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2})\,}
Teorema lui Ptolemeu
Dacă w + x + y + z = π {\displaystyle w+x+y+z=\pi \,} Atunci sin ( w + x ) sin ( x + y ) = sin ( x + y ) sin ( y + z ) = sin ( y + z ) sin ( z + w ) = sin ( z + w ) sin ( w + x ) = sin ( w ) sin ( y ) + sin ( x ) sin ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Atunci}}\;&\sin(w+x)\sin(x+y)\\&{}=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&{}=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)=\sin(w)\sin(y)+\sin(x)\sin(z).\end{aligned}}}
Atunci
sin
(
w
+
x
)
sin
(
x
+
y
)
=
sin
(
x
+
y
)
sin
(
y
+
z
)
=
sin
(
y
+
z
)
sin
(
z
+
w
)
=
sin
(
z
+
w
)
sin
(
w
+
x
)
=
sin
(
w
)
sin
(
y
)
+
sin
(
x
)
sin
(
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Atunci}}\;&\sin(w+x)\sin(x+y)\\&{}=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&{}=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)=\sin(w)\sin(y)+\sin(x)\sin(z).\end{aligned}}}
A patra identitate este teorema lui Ptolemeu adaptată limbajului trigonometric.
Combinații liniare
Din anumite puncte de vedere este important de știut că orice combinație liniară a undelor sinusoidale cu aceeași perioadă sau frecvență, dar defazată, este de asemenea o undă sinusoidală cu aceeași perioadă sau frecvență, dar cu alt defazaj. În cazul unei combinații liniare de unde sinus și cosinus (cosinus care este de fapt tot sinus dar defazat cu π/2):
a sin x + b cos x = a 2 + b 2 ⋅ sin ( x + φ ) {\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\,}
în care:
φ = { arcsin ( b a 2 + b 2 ) dacă a ≥ 0 , π − arcsin ( b a 2 + b 2 ) dacă a < 0 , {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{dacă }}a\geq 0,\\\pi -\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{dacă }}a<0,\end{cases}}}
sau echivalent
φ = arctan ( b a ) + { 0 dacă a ≥ 0 , π dacă a < 0. {\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+{\begin{cases}0&{\text{ dacă }}a\geq 0,\\\pi &{\text{ dacă }}a<0.\end{cases}}}
Mai general, pentru un defazaj arbitrar:
a sin x + b sin ( x + α ) = c sin ( x + β ) {\displaystyle a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\,}
în care:
c = a 2 + b 2 + 2 a b cos α , {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},\,}
iar
β = arctan ( b sin α a + b cos α ) + { 0 dacă a + b cos α ≥ 0 , π dacă a + b cos α < 0. {\displaystyle \beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)+{\begin{cases}0&{\text{ dacă }}a+b\cos \alpha \geq 0,\\\pi &{\text{ dacă }}a+b\cos \alpha <0.\end{cases}}}
Alte sume ale funcțiilor trigonometrice
Suma sinusurilor și a cosinusurilor cu argumente în progresie aritmetica :
sin φ + sin ( φ + α ) + sin ( φ + 2 α ) + ⋯ + sin ( φ + n α ) = sin ( ( n + 1 ) α 2 ) ⋅ sin ( φ + n α 2 ) sin α 2 . {\displaystyle \sin {\varphi }+\sin {(\varphi +\alpha )}+\sin {(\varphi +2\alpha )}+\ \cdots \ +\sin {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \sin {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.} cos φ + cos ( φ + α ) + cos ( φ + 2 α ) + ⋯ + cos ( φ + n α ) = sin ( ( n + 1 ) α 2 ) ⋅ cos ( φ + n α 2 ) sin α 2 . {\displaystyle \cos {\varphi }+\cos {(\varphi +\alpha )}+\cos {(\varphi +2\alpha )}+\ \cdots \ +\cos {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \cos {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.}
cos
φ
+
cos
(
φ
+
α
)
+
cos
(
φ
+
2
α
)
+
⋯
+
cos
(
φ
+
n
α
)
=
sin
(
(
n
+
1
)
α
2
)
⋅
cos
(
φ
+
n
α
2
)
sin
α
2
.
{\displaystyle \cos {\varphi }+\cos {(\varphi +\alpha )}+\cos {(\varphi +2\alpha )}+\ \cdots \ +\cos {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \cos {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.}
Pentru orice a și b:
a cos ( x ) + b sin ( x ) = a 2 + b 2 cos ( x − atan2 ( b , a ) ) {\displaystyle a\cos(x)+b\sin(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos(x-\operatorname {atan2} \,(b,a))\;}
în care atan2(y, x) este generalizarea funcției arctan(y/x) care acoperă întreaga circumferință a cercului.
tan ( x ) + sec ( x ) = tan ( x 2 + π 4 ) . {\displaystyle \tan(x)+\sec(x)=\tan \left({x \over 2}+{\pi \over 4}\right).}
Această identitate este convenabilă uneori când ne gândim la gudermannian, care leagă funcțiile trigonometrice de cele hiperbolice fără a recurge la numerele complexe.
Dacă x, y și z sunt trei unghiuri ale oricărui triunghi, adică x + y + z = π, atunci
cot ( x ) cot ( y ) + cot ( y ) cot ( z ) + cot ( z ) cot ( x ) = 1. {\displaystyle \cot(x)\cot(y)+\cot(y)\cot(z)+\cot(z)\cot(x)=1.\,}
Câteva transformări de funcții raționale liniare
Dacă ƒ(x) este o funcție rațională liniară
f ( x ) = ( cos α ) x − sin α ( sin α ) x + cos α , {\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}
și similar
g ( x ) = ( cos β ) x − sin β ( sin β ) x + cos β , {\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}
atunci
f ( g ( x ) ) = g ( f ( x ) ) = ( cos ( α + β ) ) x − sin ( α + β ) ( sin ( α + β ) ) x + cos ( α + β ) . {\displaystyle f(g(x))=g(f(x))={\frac {(\cos(\alpha +\beta ))x-\sin(\alpha +\beta )}{(\sin(\alpha +\beta ))x+\cos(\alpha +\beta )}}.}
Mai concis, dacă pentru toți α avem ƒα ceea ce numim funcța ƒ de mai sus, atunci:
f α ∘ f β = f α + β . {\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.\,}
Dacă x este panta unei drepte, atunci ƒ(x) este panta rotației ei printr-un unghi −α.
Funcțiile trigonometrice inverse
arcsin ( x ) + arccos ( x ) = π / 2 {\displaystyle \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;} arctan ( x ) + arccot ( x ) = π / 2. {\displaystyle \arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;} arctan ( x ) + arctan ( 1 / x ) = { π / 2 , if x > 0 − π / 2 , if x < 0 {\displaystyle \arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{if }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.}
arctan
(
x
)
+
arccot
(
x
)
=
π
/
2.
{\displaystyle \arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;}
arctan
(
x
)
+
arctan
(
1
/
x
)
=
{
π
/
2
,
if
x
>
0
−
π
/
2
,
if
x
<
0
{\displaystyle \arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{if }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.}
Structura funcțiilor trigonometrice și a inverselor lor
| sin = 1 − x 2 {\displaystyle \sin={\sqrt {1-x^{2}}}\,} | tan = x 1 − x 2 {\displaystyle \tan={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| sin = x 1 + x 2 {\displaystyle \sin={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} | tan = 1 − x 2 x {\displaystyle \tan={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} |
| cos = 1 1 + x 2 {\displaystyle \cos={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} | cot = 1 − x 2 x {\displaystyle \cot={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} |
| cos = 1 − x 2 {\displaystyle \cos={\sqrt {1-x^{2}}}\,} | cot = x 1 − x 2 {\displaystyle \cot={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
Legătura cu funcția exponentială complexă
e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,} (formula lui Euler), e − i x = cos ( − x ) + i sin ( − x ) = cos ( x ) − i sin ( x ) {\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos(x)-i\sin(x)\,} e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,} (identitatea lui Euler), cos ( x ) = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;} sin ( x ) = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;}
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}
(
și prin urmare corolarul:
tan ( x ) = e i x − e − i x i ( e i x + e − i x ) = sin ( x ) cos ( x ) {\displaystyle \tan(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\;={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}
în care i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1\,} .
.
Formula produsului infinit
Cu aplicații la funcții speciale, sunt folositoare următoarele produse infinite pentru funcțiile trigonometrice:
| sin x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 n 2 ) {\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)} sinh x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x 2 π 2 n 2 ) {\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)} sin x x = ∏ n = 1 ∞ cos ( x 2 n ) {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)} | cos x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 ( n − 1 2 ) 2 ) {\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)} cosh x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x 2 π 2 ( n − 1 2 ) 2 ) {\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)} | sin x | = 1 2 ∏ n = 0 ∞ | tan ( 2 n x ) | 2 n + 1 {\displaystyle |\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt{\left|\tan \left(2^{n}x\right)\right|}}} |
sinh
x
=
x
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
π
2
n
2
)
{\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}
sin
x
x
=
∏
n
=
1
∞
cos
(
x
2
n
)
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}
cosh
x
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
π
2
(
n
−
1
2
)
2
)
{\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}
|
sin
x
|
=
1
2
∏
n
=
0
∞
|
tan
(
2
n
x
)
|
2
n
+
1
{\displaystyle |\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt{\left|\tan \left(2^{n}x\right)\right|}}}
Identități care nu au variabile
cos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ = 1 8 {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}}
este un caz special al unei identități care conține o variabilă:
∏ j = 0 k − 1 cos ( 2 j x ) = sin ( 2 k x ) 2 k sin ( x ) . {\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin(x)}}.}
O identitate similară este:
cos π 7 cos 2 π 7 cos 3 π 7 = 1 8 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{8}},}
precum și:
sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ ⋅ sin 80 ∘ = 3 8 . {\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}
Similar:
tan 50 ∘ ⋅ tan 60 ∘ ⋅ tan 70 ∘ = tan 80 ∘ . {\displaystyle \tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }.}
Următoarea probabil că nu este cu adevărat o generalizare a unei identități care să conțină o variabilă (vezi explicația de mai jos):
cos 24 ∘ + cos 48 ∘ + cos 96 ∘ + cos 168 ∘ = 1 2 . {\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}
Dacă se consideră următoarea identitate, cu unghiurile măsurate în radiani și având valoarea 21 la numitor, obținem:
cos ( 2 π 21 ) + cos ( 2 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 4 ⋅ 2 π 21 ) {\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)} + cos ( 5 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 8 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 10 ⋅ 2 π 21 ) = 1 2 . {\displaystyle \,+\,\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}
+
cos
(
5
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
8
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
10
⋅
2
π
21
)
=
1
2
.
{\displaystyle \,+\,\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}
Factorii 1, 2, 4 ,5 8 și 10 sunt intregi mai mici decât 21/2 și nu au factori comuni cu numarul 21.
Calculul lui π
O cale eficientă de a calcula pe π se bazează pe următoarea identitate fără variabile, datorată lui John Machin:
π 4 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
sau, alternativ, folosind identitatea lui Leonhard Euler:
π 4 = 5 arctan 1 7 + 2 arctan 3 79 . {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}.}
Un mnemonic folositor pentru câteva valori ale sinusului și cosinusului
Pentru câteva unghiuri simple, sinusul și cosinusul iau forma n / 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {n}}/2} pentru 0 ≤ n ≤ 4, care sunt ușor de memorat.
sin 0 = sin 0 ∘ = 0 / 2 = cos 90 ∘ = cos ( π 2 ) sin ( π 6 ) = sin 30 ∘ = 1 / 2 = cos 60 ∘ = cos ( π 3 ) sin ( π 4 ) = sin 45 ∘ = 2 / 2 = cos 45 ∘ = cos ( π 4 ) sin ( π 3 ) = sin 60 ∘ = 3 / 2 = cos 30 ∘ = cos ( π 6 ) sin ( π 2 ) = sin 90 ∘ = 4 / 2 = cos 0 ∘ = cos 0 {\displaystyle {\begin{matrix}\sin 0&=&\sin 0^{\circ }&=&{\sqrt {0}}/2&=&\cos 90^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\sin 30^{\circ }&=&{\sqrt {1}}/2&=&\cos 60^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\sin 45^{\circ }&=&{\sqrt {2}}/2&=&\cos 45^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\sin 60^{\circ }&=&{\sqrt {3}}/2&=&\cos 30^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)&=&\sin 90^{\circ }&=&{\sqrt {4}}/2&=&\cos 0^{\circ }&=&\cos 0\end{matrix}}}
pentru 0 ≤ n ≤ 4, care sunt ușor de memorat.
Colecție
cos ( π 5 ) = cos 36 ∘ = 5 + 1 4 = φ 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\cos 36^{\circ }={{\sqrt {5}}+1 \over 4}={\frac {\varphi }{2}}} sin ( π 10 ) = sin 18 ∘ = 5 − 1 4 = φ − 1 2 = 1 2 φ {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }}
sin
(
π
10
)
=
sin
18
∘
=
5
−
1
4
=
φ
−
1
2
=
1
2
φ
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }}
Vezi și constante trigonometrice exacte.
Calcul diferențial și integral
În calculul diferențial relațiile de mai jos cer ca unghiurile să fie măsurate în radiani. Dacă funcțiile trigonometrice sunt definite în termeni geometrici, derivatele lor pot fi găsite prin verificarea a două limite. Prima este:
lim x → 0 sin x x = 1 , {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,}
Verificabilă prin folosirea circului unitate. De asemenea se poate aplica regula lui L'Hopital: derivata sin x este cos x, iar derivata lui x este 1, deci găsim ușor limita știind că cos 0 = 1. A doua limită este:
lim x → 0 1 − cos x x = 0 , {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0,}
Verificabilă folosind tot regula lui L'Hopital. Dacă sinus și cosinus sunt definite prin seriile lor Taylor, atunci derivatele pot fi găsite prin diferențierea termen cu termen a seriilor de puteri.
d d x sin x = cos x {\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}
Restul funcțiilor trigonometrice pot fi diferențiate folosind identitatea de mai sus și regulile de derivare:
d d x sin x = cos x , d d x arcsin x = 1 1 − x 2 d d x cos x = − sin x , d d x arccos x = − 1 1 − x 2 d d x tan x = sec 2 x , d d x arctan x = 1 1 + x 2 d d x cot x = − csc 2 x , d d x arccot x = − 1 1 + x 2 d d x sec x = tan x sec x , d d x arcsec x = 1 | x | x 2 − 1 d d x csc x = − csc x cot x , d d x arccsc x = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&={-1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}}
Identitățile integrale pot fi găsite în "Lista integralelor funcțiilor trigonometrice". Câteva forme generice sunt listate mai jos:
∫ d u a 2 − u 2 = sin − 1 ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan − 1 ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 a sec − 1 | u a | + C {\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}={\frac {1}{a}}\sec ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}
∫
d
u
a
2
+
u
2
=
1
a
tan
−
1
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫
d
u
u
u
2
−
a
2
=
1
a
sec
−
1
|
u
a
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}={\frac {1}{a}}\sec ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}
Implicații
Faptul că diferențierea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus rezultă din combinații liniare ale acelorași două funcții este de importanță fundamentală în multe domenii ale matematicii, precum ecuațiile diferențiale și transformata Fourier.
Definire prin exponențială
| Funcție | Inversa funcției |
|---|---|
| sin θ = e i θ − e − i θ 2 i {\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,} | arcsin x = − i ln ( i x + 1 − x 2 ) {\displaystyle \arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,} |
| cos θ = e i θ + e − i θ 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,} | arccos x = − i ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,} |
| tan θ = e i θ − e − i θ i ( e i θ + e − i θ ) {\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,} | arctan x = i 2 ln ( i + x i − x ) {\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,} |
| csc θ = 2 i e i θ − e − i θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,} | arccsc x = − i ln ( i x + 1 − 1 x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,} |
| sec θ = 2 e i θ + e − i θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,} | arcsec x = − i ln ( 1 x + 1 − i x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,} |
| cot θ = i ( e i θ + e − i θ ) e i θ − e − i θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,} | arccot x = i 2 ln ( x − i x + i ) {\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,} |
| cis θ = e i θ {\displaystyle \operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,} | arccis x = ln x i {\displaystyle \operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}\,} |
Diverse
Nucleul lui Dirichlet
Nucleul lui Dirichlet Dn(x) este funcția care apare în ambele părți ale următoarei identități:
1 + 2 cos ( x ) + 2 cos ( 2 x ) + 2 cos ( 3 x ) + ⋯ + 2 cos ( n x ) = sin sin ( x 2 ) . {\displaystyle 1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left sin ( x ) = 2 t 1 + t 2 ; cos ( x ) = 1 − t 2 1 + t 2 ; e i x = 1 + i t 1 − i t {\displaystyle \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}{\text{ ; }}\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}{\text{ ; }}e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}}
în care e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}
Aceste substituții sunt folositoare la transformarea funcțiilor sinus și cosinus în funcții raționale de t, pentru a găsi primitivele integralelor.
Note
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
- ^ „The Elementary Identities”. Arhivat din original la 30 iulie 2017. Accesat în 27 iulie 2010.
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
- ^ a b c Eric W. Weisstein, Trigonometric Addition Formulas la MathWorld.
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
- ^ a b Eric W. Weisstein, Multiple-Angle Formulas la MathWorld.
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
- ^ Eric W. Weisstein, Double-Angle Formulas la MathWorld.
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
- ^ Eric W. Weisstein, Half-Angle Formulas la MathWorld.
- ^ Ken Ward's Mathematics Pages, http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
- ^ Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities à la Hermite", American Mathematical Monthly, volume 117, number 4, April 2010, pages 311–327
- ^ Proof at http://pages.pacificcoast.net/~cazelais/252/lc-trig.pdf Arhivat în 3 decembrie 2011, la Wayback Machine.
- ^ Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression Arhivat în 19 iulie 2011, la Wayback Machine.
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 77, 4.3.105–110
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 82, 4.4.52–57
- ^ Finney, Ross (2003). Calculus : Graphical, Numerical, Algebraic. Glenview, Illinois: Prentice Hall. pp. 159–161. ISBN 0-13-063131-0.
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23
Bibliografie
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ed. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.
Vezi și
Legături externe
- Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°, and for the same angles Csc and Sec and Tan.