Paraboloidul este o suprafață cuadrică. Secțiunile sale plane (intersecția paraboloidului cu un plan oarecare) pot fi elipse sau hiperbole, de unde și clasificarea; paraboloizi eliptici și paraboloizi hiperbolici.
O caracteristică a paraboloidului este și faptul că nu are un centru de simetrie.
Un paraboloid este eliptic dacă secțiunile perpendiculare pe axa sa de simetrie sunt elipse.
Într-un sistem de referință tridimensional cu originea în vârful paraboloidului, ecuația sa este de forma:
( x a ) 2 + ( y b ) 2 − z = 0 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}-z=0}În cazul particular a = b {\displaystyle a=b}
, paraboloidul eliptic se numește „paraboloid circular” sau „paraboloid de rotație”.Formula volumului unui corp format dintr-un paraboloid eliptic circular mărginit de un plan perpendicular pe axa de simetrie este:
V = 1 / 2 π ⋅ b 2 ⋅ a {\displaystyle V=1/2\pi \cdot b^{2}\cdot a}unde a este lungimea axei de simetrie de la vârful paraboloidului până la planul bazei, iar b este raza cercului de intersecție a paraboloidului cu planul bazei.
Într-un sistem de referință tridimensional potrivit ales, ecuația paraboloidului hiperbolic este de forma:
( x a ) 2 − ( y b ) 2 − z = 0 , {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}-z=0,}Forma particulară a acestei suprafețe i-a adus supranumele „șa de cal”, sau „șa de călărie”. În ilustrația alăturată, este reprezentată, pentru x {\displaystyle x} și y {\displaystyle y} cuprinse între –1 și 1, suprafața de ecuație z = x 2 − y 2 {\displaystyle z=x^{2}-y^{2}\,\!} . Se pot observa hiperbolele „orizontale” (cu galben) care degenerează în drepte secante pentru z = 0 {\displaystyle z=0\,\!} , și parabolele „verticale” (cu violet).