În matematică cea mai simplă formă a teoremei paralelogramului (numită și identitatea paralelogramului) aparține geometriei elementare. Afirmă că suma pătratelor lungimilor celor patru laturi ale unui paralelogram este egală cu suma pătratelor lungimilor celor două diagonale. Se notează laturile cu AB, BC, CD, DA. Întrucât în geometria euclidiană un paralelogram are în mod necesar laturile opuse egale, adică AB = CD și BC = DA, teorema poate fi enunțată prin următoarea egalitate de expresii algebrice
2 A B 2 + 2 B C 2 = A C 2 + B D 2 {\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}} .Dacă paralelogramul este un dreptunghi, cele două diagonale sunt de lungimi egale AC = BD, deci 2 A B 2 + 2 B C 2 = 2 A C 2 {\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}} , iar afirmația se reduce la teorema lui Pitagora. Pentru patrulaterul general diagonalele nu sunt neapărat egale,
A B 2 + B C 2 + C D 2 + D A 2 = A C 2 + B D 2 + 4 x 2 , {\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}unde x {\displaystyle x} segmentului care unește punctele de mijloc ale diagonalelor. Din diagramă se poate observa că pentru un paralelogram x = 0 {\displaystyle x=0} , și astfel formula generală se simplifică la forma pentru paralelogram.
este lungimeaÎn paralelogramul de sus, fie AD = BC = a, AB = DC = b, ∠ B A D = α . {\displaystyle \angle BAD=\alpha .} teorema cosinusului în triunghiul △ B A D , {\displaystyle \triangle BAD,} se obține:
a 2 + b 2 − 2 a b cos ( α ) = B D 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.} Dinîntr-un paralelogram, unghiurile adiacente sunt suplementare, deci ∠ A D C = 180 ∘ − α . {\displaystyle \angle ADC=180^{\circ }-\alpha .}
a 2 + b 2 − 2 a b cos ( 180 ∘ − α ) = A C 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.} Folosind teorema cosinusului în triunghiul △ A D C , {\displaystyle \triangle ADC,} se obține:Aplicând celor de mai sus identitatea trigonometrică privind cosinusurile unghiurilor suplementare cos ( 180 ∘ − x ) = − cos x {\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}
a 2 + b 2 + 2 a b cos ( α ) = A C 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.} se obține:Acum suma pătratelor B D 2 + A C 2 {\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}
B D 2 + A C 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ( α ) + a 2 + b 2 + 2 a b cos ( α ) . {\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).} se poate exprima ca:După simplificări relația devine:
B D 2 + A C 2 = 2 a 2 + 2 b 2 . {\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}Într-un spațiu normat, enunțul teoremei paralelogramului este o ecuație în legătură cu normele:
2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 = ‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 pentru toate x , y . {\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ pentru toate }}x,y.}Teorema paralelogramului este echivalentă cu afirmația aparent mai slabă:
2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 ≤ ‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 pentru toate x , y {\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ pentru toate }}x,y}deoarece inegalitatea inversă se poate obține din ea prin substituirea 1 2 ( x + y ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}
‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 ≤ 2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 pentru toate x , y . {\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ pentru toate }}x,y.} pentru x , {\displaystyle x,} și 1 2 ( x − y ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)} pentru y , {\displaystyle y,} și apoi simplificând. Prin aceeași demonstrație, teorema paralelogramului este echivalentă și cu:Într-un spațiu prehilbertian, norma este determinată prin produsul scalar:
‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ . {\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}Ca o consecință a acestei definiții, într-un spațiu prehilbertian teorema paralelogramului este o identitate algebrică, ușor de stabilit folosind proprietățile produsului scalar:
‖ x + y ‖ 2 = ⟨ x + y , x + y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ , {\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,} ‖ x − y ‖ 2 = ⟨ x − y , x − y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ − ⟨ x , y ⟩ − ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ . {\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .}Adunând aceste două expresii se obține:
‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 = 2 ⟨ x , x ⟩ + 2 ⟨ y , y ⟩ = 2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 , {\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}ceea ce s-a cerut.
Dacă x {\displaystyle x}
‖ x + y ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ = ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 , {\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},} este ortogonal cu y , {\displaystyle y,} înseamnă că ⟨ x , y ⟩ = 0 , {\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0,} iar ecuația de mai sus pentru norma unei sume devine:care este Teorema lui Pitagora.
Cele mai multe spații vectoriale normate reale și complexe nu au produse scalare, dar toate spațiile vectoriale normate au norme (prin definiție). De exemplu, o normă folosită în mod obișnuit pentru un vector x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} în spațiul de coordonate reale R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} este p-norma:
‖ x ‖ p = ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p ) 1 / p . {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}Fiind dată o normă, se pot evalua ambele părți ale teoremei paralelogramului de mai sus. Un fapt remarcabil este că, dacă teorema paralelogramului este valabilă, atunci norma trebuie să apară în mod obișnuit dintr-un produs scalar. În special, este valabil pentru o p-normă dacă și numai dacă p = 2, adică norma euclidiană sau norma standard.
Pentru orice normă care satisface teorema paralelogramului (care este în mod necesar o normă de produs scalar), produsul scalar care generează norma este unic ca o consecință a identității de polarizare. În cazul real, identitatea de polarizare este dată de:
⟨ x , y ⟩ = ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 4 , {\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},}sau, echivalent, de
‖ x + y ‖ 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 2 sau ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 2 . {\displaystyle {\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\qquad {\text{ sau }}\qquad {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.}În cazul numerelor complexe este dată de:
⟨ x , y ⟩ = ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 4 + i ‖ i x − y ‖ 2 − ‖ i x + y ‖ 2 4 . {\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.}De exemplu, cu p-norma cu p = 2 și vectorii reali x și y, calculul produsului scalar este:
⟨
x
,
y
⟩
=
‖
x
+
y
‖
2
−
‖
x
−
y
‖
2
4
=
1
4
(
∑
i
|
x
i
+
y
i
|
2
−
∑
i
|
x
i
−
y
i
|
2
)
=
1
4
(
4
∑
i
x
i
y
i
)
=
x
⋅
y
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\&={\tfrac {1}{4}}\left(\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\left(4\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}
care este produsul scalar standard al doi vectori.
O altă condiție necesară și suficientă ca să existe un produs scalar care induce norma dată ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} teorema lui Ptolemeu:
‖ x − y ‖ ‖ z ‖ + ‖ y − z ‖ ‖ x ‖ ≥ ‖ x − z ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad } este ca norma să satisfacă pentru toți vectorii x, y, z.