Varietate (geometrie)

În matematică (mai ales în geometria diferențială și topologie), o varietate este un spațiu topologic, care la o scară destul de mică are proprietățile unui spațiu euclidian de o anumită dimensiune, numită dimensiunea varietății. Așadar, o linie este o varietate unidimensională, un plan și suprafața unei sfere sunt varietăți bidimensionale și așa mai departe. Fiecare punct de pe o varietate n-dimensională are o vecinătate care este homeomorfă cu o mulțime deschisă al spațiului ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.\!}$

Deși o varietate are proprietăți locale ale unui spațiu euclidian, structura generala poate fi mult mai complexă (de exemplu o parte a globului pământesc care este cartografiată).

Se numește varietate topologică de dimensiune n un spațiu topologic M care îndeplinește următoarele trei condiții:

(i) M este un spațiu topologic Hausdorff (sau, cum se mai spune, verifică axioma de separabilitate ${\displaystyle T_{2}:\!}$ două puncte distincte au vecinătăți disjuncte);

(ii) M are o bază numărabilă de mulțimi deschise;

(iii) M este local euclidian de dimensiune n, ceea ce înseamnă că fiecare punct al său are o vecinătate homeomorfă cu o mulțime deschisă din ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!}$ (sau, ceea ce este același lucru, cu întregul ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!}$).

Definiție. Dacă M este un spațiu topologic, o aplicație de dimensiune n pe M este o pereche ${\displaystyle (U,\varphi ),\!}$ unde ${\displaystyle U\subset M\!}$ este o submulțime deschisă iar ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\!}$ este un homeomorfism pe imagine.

• Andrei Iacob, Metode topologice în mecanica clasică, Editura Academiei RSR, 1973

• Teoria împletiturilor

• Dimensions-math.org (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)
• The manifold atlas project of the Hausdorff Institute for Mathematics in Bonn