Punct izolat al unei curbe

În geometria algebrică clasică, un punct izolat al unei curbe^[1][2] (în engleză acnode), cunoscut și ca punct hermitic,^[3] este un punct izolat din mulțimea soluțiilor unei ecuații polinomiale în două variabile reale.

De exemplu, ecuația (definind o funcție implicită)

${\displaystyle f(x,y)=y^{2}+x^{2}-x^{3}=0}$

are un punct izolat în origine, deoarece este echivalent cu

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x-1)}$

iar ${\displaystyle x^{2}(x-1)}$ este nenegativ doar când ${\displaystyle x\geq 1}$ sau ${\displaystyle x=0}$. Astfel, în numere reale ecuația nu are soluții pentru ${\displaystyle x<1}$ cu excepția lui (0, 0).

Prin contrast, în numerele complexe originea nu este izolată deoarece există rădăcini pătrate ale numerelor reale negative. De fapt, soluția complexă a unei ecuații polinomiale de două variabile complexe nu poate avea niciodată un punct izolat.

Un punct izolat al unei curbe este un punct critic, sau o singularitate, a funcției polinomiale definitorii, în sensul că ambele derivate parțiale ${\displaystyle \partial f \over \partial x}$ și ${\displaystyle \partial f \over \partial y}$ dispar. În plus, matricea Hessiană a derivatelor de ordinul al doilea va fi pozitiv definită sau negativ definită, deoarece funcția trebuie să aibă în punctul singular un minim local sau un maxim local.

• Punct singular al unei curbe
• Nod
• Punct de întoarcere
• Punct de osculație

• en Porteous, Ian (1994). Geometric Differentiation. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39063-7. 

Portal Matematică