![]() | Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. |
Geometrie | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() | |||||||||
Ramuri | |||||||||
|
|||||||||
Zerodimensional | |||||||||
Unidimensional | |||||||||
Bidimensional
|
|||||||||
Tridimensional | |||||||||
Cvadri- și n-dimensional | |||||||||
Geometria algebrică este o ramură a matematicii, care, așa cum numele o sugerează, combină algebra, în special algebra comutativă cu geometria. Geometria algebrică poate fi înțeleasă ca studiul unui grup de soluții al sistemelor de ecuații algebrice. Atunci când există mai mult de o variabilă, considerente de natură geometrică intră "în joc", înțelegerea fenomenului fiind importantă. S-ar putea spune că subiectul abia începe acolo unde rezolvarea ecuațiilor se termină. De asemenea, se poate argumenta că este la fel de importantă găsirea ansamblului tuturor soluțiilor posibile ale unui sistem de ecuații ca și găsirea unei singure soluții. Oricum, aceste considerente conduc la interpretări subtile și de natură filozofică a matematicii, atât conceptual cât și tehnic.
În geometria algebrică clasică, obiectul esențial al interesului îl reprezintă grupul tuturor punctelor care satisfac simultan una sau mai multe ecuații polinomiale. Spre exemplificare, sfera tridimensională în spațiul euclidian tridimensional R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} poate fi definită ca mulțimea tuturor punctelor ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} care satisfac ecuația:
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,}Astfel, un cerc "înclinat" în R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} mulțimea tuturor punctelor ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} care satisfac simultan următoarele două ecuații polinomiale:
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,} poate fi definit ca x + y + z = 0. {\displaystyle x+y+z=0.\,}Spațiul afin peste un corp k {\displaystyle k\,} este produsul cartezian k n {\displaystyle k^{n}\,} , unde n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} \,} denotă dimensiunea spațiului. Punctele lui k n {\displaystyle k^{n}\,} pot fi exprimate in coordonate ( x 1 , . . . , x n ) {\displaystyle (x_{1},...,x_{n})\,} .
O varietate afină(d) este o submulțime a lui k n {\displaystyle k^{n}\,} , ale cărei puncte sunt zerourile simultane ale unei colecții de polinoame în n {\displaystyle n\,} variabile. Mai exact, dacă { f α ( x 1 , . . . , x n ) } {\displaystyle \{f_{\alpha }(x_{1},...,x_{n})\}\,} este o colecție de polinoame, atunci o varietate afină este
V = { ( x 1 , . . . , x n ) | f α ( x 1 , . . . , x n ) = 0 , ∀ α } {\displaystyle V=\{(x_{1},...,x_{n})|f_{\alpha }(x_{1},...,x_{n})=0,\forall \alpha \}} .Dacă punctele unei varietăți V {\displaystyle V\,} idealul general de polinoamele { f α ( x 1 , . . . , x n ) } {\displaystyle \{f_{\alpha }(x_{1},...,x_{n})\}\,} . Acest ideal se notează cu I ( V ) {\displaystyle I(V)\,} și se numește idealul varietății V {\displaystyle V\,} .
sunt zerourile unei colecții de polinoame { f α ( x 1 , . . . , x n ) } {\displaystyle \{f_{\alpha }(x_{1},...,x_{n})\}\,} , atunci ele sunt zerourile oricărui polinom dinReciproc, pornind de la un ideal de polinoame I {\displaystyle I\,} teorema zerourilor a lui Hilbert(d) (germană: Nullstellensatz), care afirmă că pentru un ideal de polinoame J {\displaystyle J\,} ,
I ( V ( J ) ) = J {\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}}} , varietatea punctelor care satisfac simultan toate polinoamele din V {\displaystyle V\,} se notează cu V ( I ) {\displaystyle V(I)\,} . Relația dintre ideale și varietăți este completată de ,unde cu J {\displaystyle {\sqrt {J}}\,} radicalul lui J {\displaystyle J\,} . De asemenea, pentru orice varietate W {\displaystyle W\,} are loc relația
V ( I ( W ) ) = W . {\displaystyle V(I(W))=W.\,} este notatVarietățile afine sunt chiar mulțimile închise din topologia Zariski(d).
O funcție regulată pe o varietate algebrică V ⊂ k n {\displaystyle V\subset k^{n}\,} este restricția la V {\displaystyle V\,} a unei funcții polinomiale pe k n {\displaystyle k^{n}\,} (adică a unui polinom in n {\displaystyle n\,} variabile cu coeficienți în k {\displaystyle k\,} ). Prin definiție, polinoamele din idealul I ( V ) {\displaystyle I(V)\,} se anulează pe întregul V {\displaystyle V\,} . De aceea, este mai firesc ca funcțiile regulate pe V {\displaystyle V\,} să fie privite modulo I ( V ) {\displaystyle I(V)\,} .
Astfel, funcțiile regulate pe V {\displaystyle V\,}
k := k / I ( V ) . {\displaystyle k:=k/I(V).\,} formează un inel, a cărui definiție formală esteDe exemplu, dacă V = k n {\displaystyle V=k^{n}\,}
, atunci I ( V ) = ( 0 ) {\displaystyle I(V)=(0)\,} și astfel k = k {\displaystyle k=k\,} .Dacă V {\displaystyle V\,}
este un singur punct ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle (a_{1},...,a_{n})\,} , atunci I ( V ) = ( x 1 − a 1 , . . . , x n − a n ) {\displaystyle I(V)=(x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})\,} și atunci k ≅ k {\displaystyle k\cong k} .A classical textbook, predating schemes:
Modern textbooks that do not use the language of schemes:
Textbooks and references for schemes:
Control de autoritate | ![]() |
---|