Funcție
Aspect mută în bara laterală ascunde Pentru alte sensuri, vedeți Funcție (dezambiguizare). Pagina „F(x)” trimite aici. Pentru formația muzicală cu acest nume vedeți F(x) (formație).
Diagramă reprezentând o funcție cu domeniul
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,2,3,4\}}
și codomeniul
{
a
,
b
,
c
,
d
}
{\displaystyle \{a,b,c,d\}}
și codomeniul
{
a
,
b
,
c
,
d
}
{\displaystyle \{a,b,c,d\}}
În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte.
Definiție formală
Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G produsul lor cartezian: G = A × B.
Fie F o submulțime a lui G.
F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:
- Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea (x, y) se află în F.
- Pentru oricare două perechi (x1 , y1) și (x1, y2) din F, y1 = y2.
Funcțiile pot fi definite astfel:
- Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
- Printr-o expresie algebrică (sau mai multe expresii algebrice diferite pe porțiuni ale domeniului) : f : R → R ; f ( x ) = 3x - 1
Imaginea funcției
Articol principal: Imaginea unei funcții.Imaginea unei funcții f : A → B {\displaystyle f:A\to B} este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile f ( x ) , ∀ x ∈ A {\displaystyle f(x),\forall x\in A} . Se notează Im f {\displaystyle f} sau f ( A ) {\displaystyle f(A)} .
Im f = { f ( x ) | x ∈ A } {\displaystyle f={\big \{}f(x)|x\in A{\big \}}} sau Im f = { y ∈ B | ∃ x ∈ A , f ( x ) = y } {\displaystyle f={\big \{}y\in B|\exists x\in A,f(x)=y{\big \}}}
este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile
f
(
x
)
,
∀
x
∈
A
{\displaystyle f(x),\forall x\in A}
. Se notează Im
f
{\displaystyle f}
sau
f
(
A
)
{\displaystyle f(A)}
.
sau
Im
f
=
{
y
∈
B
|
∃
x
∈
A
,
f
(
x
)
=
y
}
{\displaystyle f={\big \{}y\in B|\exists x\in A,f(x)=y{\big \}}}
Graficul funcției
Articol principal: Graficul unei funcții.Graficul funcției f : A → B {\displaystyle f:A\to B} Gf= { ( x , f ( x ) ) | x ∈ A } {\displaystyle {\big \{}(x,f(x))|x\in A{\big \}}}
Proprietăți
Injectivitate
Articol principal: Funcție injectivă.O funcție f:A→B se numește „injectivă” sau „injecție” dacă asociază fiecărui element din domeniu un element diferit din codomeniu. Definiții:
- ∀ x , y ∈ A , x ≠ y {\displaystyle \forall x,y\in A,x\neq y} atunci f(x)≠f(y) sau
- ∀ x , y ∈ A , {\displaystyle \forall x,y\in A,} dacă f(x)=f(y) atunci x=y
atunci f(x)≠f(y) sau
dacă f(x)=f(y) atunci x=yInterpretare geometrică: O funcție f este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcției f în cel mult un punct.
Un exemplu este funcția f : N → N , f ( x ) = x 3 {\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,f(x)=x^{3}} .
.
Deoarece pentru ∀ x , y ∈ N {\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {N} } x≠y avem x3 ≠ y3, înseamnă că funcția f este injectivă.
x≠y avem x3 ≠ y3, înseamnă că funcția f este injectivă.
Surjectivitate
O funcție f:A→B se numește „surjectivă” sau „surjecție” dacă asociază fiecărui element din codomeniu un element din domeniu. Respectiv, ∀ y ∈ B {\displaystyle \forall y\in B} , atunci ∃ x ∈ A {\displaystyle \exists x\in A} astfel încât f(x)=y.
, atunci
∃
x
∈
A
{\displaystyle \exists x\in A}
astfel încât f(x)=y.
Interpretare geometrică: O funcție f este surjectivă dacă orice paralelă la Ox printr-un punct y ∈ B {\displaystyle y\in B} de pe Oy intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.
de pe Oy intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.
O funcție surjectivă, de exemplu, este f : Z → N {\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} } , f(x)=|x|, atunci ∀ y ∈ N {\displaystyle \forall y\in \mathbb {N} } y , − y ∈ Z {\displaystyle y,-y\in \mathbb {Z} } astfel încât f(y)=f(-y).
, 
y
,
−
y
∈
Z
{\displaystyle y,-y\in \mathbb {Z} }
astfel încât f(y)=f(-y).
Bijectivitate
O funcție f:A→B se numește „bijectivă” sau „bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă. Respectiv, f este o bijecție dacă ∀ y ∈ B {\displaystyle \forall y\in B} , ∃ x ∈ A {\displaystyle \exists x\in A} unic astfel încât f(x)=y.
Interpretare geometrică: O funcție f este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox printr-un punct y ∈ B {\displaystyle y\in B} de pe Oy intersectează graficul funcției f în exact un punct.
Un exemplu de funcție bijectivă este f : Z → Z {\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} } , f(x)=x+3, atunci ∀ y ∈ Z {\displaystyle \forall y\in \mathbb {Z} } ∃ x ∈ Z {\displaystyle \exists x\in \mathbb {Z} } astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.
, f(x)=x+3, atunci
∀
y
∈
Z
{\displaystyle \forall y\in \mathbb {Z} }
∃
x
∈
Z
{\displaystyle \exists x\in \mathbb {Z} }
astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.
Inversa unei funcții
O funcție f : A → B {\displaystyle f:A\to B} se numește „inversabilă” dacă și numai dacă există funcția g : B → A {\displaystyle g:B\to A} astfel încât f ∘ g = g ∘ f = 1 A {\displaystyle f\circ g=g\circ f=\mathbf {1} _{A}} . Atunci g : B → A {\displaystyle g:B\to A} se numește „inversa” funcției f {\displaystyle f} și se notează f − 1 {\displaystyle f^{-1}} . Funcția f {\displaystyle f} este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.
astfel încât
f
∘
g
=
g
∘
f
=
1
A
{\displaystyle f\circ g=g\circ f=\mathbf {1} _{A}}
. Atunci
g
:
B
→
A
{\displaystyle g:B\to A}
. Funcția
f
{\displaystyle f}
- Inversa unei funcții este unică și simetrică față de funcție.
- Graficele funcțiilor numerice f {\displaystyle f} și f − 1 {\displaystyle f^{-1}} sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta cu ecuația y = x {\displaystyle y=x} .
.Paritatea funcției
O funcție cu valori reale, f : A → B {\displaystyle f:A\to B} unde B ⊆ R {\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} } , se numește „pară” dacă ∀ x ∈ A , f ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle \forall x\in A,f(x)=f(-x)} . Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.
, se numește „pară” dacă
∀
x
∈
A
,
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle \forall x\in A,f(x)=f(-x)}
. Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.
O funcție f : A → B {\displaystyle f:A\to B} cu valori reale se numește „impară” dacă
- ∀ x ∈ A , f ( x ) = − f ( − x ) {\displaystyle \forall x\in A,f(x)=-f(-x)} sau
- ∀ x ∈ A , f ( x ) + f ( − x ) = 0 {\displaystyle \forall x\in A,f(x)+f(-x)=0} .
sau
.Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.
Proprietăți- Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
- Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
- Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
- Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
- Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
- Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
- Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.
Monotonie
Articol principal: Funcție monotonă.Legături externe
- The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
- Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
- xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
- Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
- Functions from cut-the-knot.
- Function at ProvenMath.
- Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool Arhivat în 30 noiembrie 2010, la Wayback Machine..
- FunctionGame, an educational interactive function guessing games.