Patrulater ortodiagonal
Aspect mută în bara laterală ascunde | Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. |
În geometria plană, un patrulater ortodiagonal este un patrulater cu diagonalele perpendiculare. Există patrulatere convexe ortodiagonale, de exemplu romboizii și trapezele ortodiagonale.
Proprietăți
Aria unui patrulater ortodiagonal este egală cu semiprodusul lungimilor diagonalelor sale.
A = d 1 ⋅ d 2 2 {\displaystyle A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}}
Cazuri particulare de patrulatere ortodiagonale sunt pătratul și rombul.
Teoremă . În orice patrulater ortodiagonal, suma pătratelor a două laturi opuse este egală cu suma pătratelor celorlalte două laturi opuse. Cu alte cuvinte dacă laturile consecutive ale patrulaterului sunt a, b, c și d, atunci:
a 2 + c 2 = b 2 + d 2 {\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}\!\,}
Demonstrația este imediată, se aplică teorema lui Pitagora în cele patru triunghiuri dreptunghice în O, apoi se însumează două câte două relațiile, punctul O fiind punctul de intersecție al diagonalelor patrulaterului.
Observație 1. Un trapez isoscel este ortodiagonal dacă și numai dacă înălțimea este media aritmetică a bazelor trapezului.
h = B + b 2 {\displaystyle h={\frac {B+b}{2}}} => aria trapezului: A = ( B + b ) 2 4 {\displaystyle A={\frac {(B+b)^{2}}{4}}}
=> aria trapezului:
A
=
(
B
+
b
)
2
4
{\displaystyle A={\frac {(B+b)^{2}}{4}}}
Observație 2. Un trapez dreptunghic este ortodiagonal dacă și numai dacă înălțimea este media geometrică a bazelor trapezului.
h = B ⋅ b {\displaystyle h={\sqrt {B\cdot b}}}
Bibliografie
- Ion Cuculescu, Constantin Ottescu, Laurențiu N.Gaiu, Matematică: manual pentru clasa a VII-a, București: Editura didactică și Pedagogică, 1995
- Ionică Rizea, Matematică: manual pentru clasa a VII-a, București: Editura Radical, 1997
- Dan Brânzei, Anița Sebastian, Anița Alice, Competență și performanță în geometrie, Iași: Editura Paralela 45, 1998
- Dan Brânzei, Anton Negrila, Maria Negrila, Mate2000+++, Iași: Editura Paralela 45, 2002
- Traian Cohal, Eugenia Cohal, Geometria, o întreagă lume, Iași: Editura Dosoftei, 1995
- Traian Cohal, Adrian Zanoschi, Probleme de matematică pentru clasa a VIII-a, Iași: Editura Moldova, 2004
- Ioana Monalisa, Cristina Neagoe, Culegere de probleme de matematică pentru clasa a VII-a, București: Editura AS.UNICUM, 2009