În geometria euclidiană un poligon circumscriptibil este un poligon convex care conține un cerc înscris. Acesta este un cerc care este tangent la fiecare dintre laturile poligonului. Poligonul dual al unui poligon circumscriptibil este un poligon inscriptibil, care are un cerc circumscris care trece prin toate vârfurile sale.
Toate triunghiurile sunt circumscriptibile, la fel ca toate poligoanele regulate cu orice număr de laturi. Un grup bine studiat de poligoane circumscriptibile sunt patrulaterele circumscriptibile, inclusiv romburile și romboizii.
Un poligon convex are un cerc înscris dacă și numai dacă toate bisectoarele unghiurilor interioare sunt drepte concurente. Acest punct comun este centrul cercului înscris.
Un poligon cu n laturi notate în ordine a1, ..., an este circumscriptibil dacă și numai dacă sistemul de ecuații liniare
x 1 + x 2 = a 1 , x 2 + x 3 = a 2 , … , x n + x 1 = a n {\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}}are o soluție (x1, ..., xn) în numere reale pozitive. Dacă această soluție există, atunci x1, ..., xn sunt lungimile la tangente ale poligonului (lungimile de la vârfuri la punctele de tangență ale cercului înscris cu laturile).
Dacă numărul de laturi n este impar, atunci pentru orice set dat de lungimi ale laturilor a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} :p. 389 De exemplu, în cazul unui patrulater cu toate laturile egale toate romburile, indiferent de mărimea unghiurilor lui ascuțite, au cercuri înscrise, căci sunt circumscriptibile.
care satisfac criteriul de mai sus există un singur poligon circumscriptibil. Însă dacă n este par există o infinitate de poligoane circumscriptibile.Dacă cele n laturi ale poligonului circumscriptibil sunt a1, ..., an, raza cercului înscris este
r = K s = 2 K ∑ i = 1 n a i {\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}unde K este aria poligonului iar s este semiperimetrul său. (Deoarece toate triunghiurile sunt circumscriptibile, această formulă este valabilă pentru toate triunghiurile.)
În timp ce toate triunghiurile sunt circumscriptibile unui cerc, un triunghi se numește triunghi circumscriptibil al unui triunghi de referință dacă punctele de tangență cu cercul ale triunghiului circumscriptibil sunt și vârfurile triunghiului de referință.
Un Patrulater circumscriptibil este un patrulater care admite un cerc înscris.